TroposphereEdit
Aby obliczyć gęstość powietrza w funkcji wysokości nad poziomem morza, potrzebne są dodatkowe parametry. Dla troposfery, najniższej części atmosfery, są one wymienione poniżej, wraz z ich wartościami według Międzynarodowej Atmosfery Standardowej, wykorzystującej do obliczeń uniwersalną stałą gazową zamiast stałej właściwej powietrza:
p 0 = {{displaystyle p_{0}=}
standardowe ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza, 101325 Pa T 0 = {displaystyle T_{0}=}
standardowa temperatura na poziomie morza, 288,15 K g = {displaystyle g=}
przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi, 9,80665 m/s2 L = {displaystyle L=}
współczynnik upływu temperatury, 0,0065 K/m R = {displaystyle R=}
stała gazu idealnego (uniwersalnego), 8,31446 J/(mol-K) M = {displaystyle M=}
masa molowa suchego powietrza, 0,0289652 kg/mol
Temperatura na wysokości h {displaystyle h}
metrów nad poziomem morza przybliżona jest następującym wzorem (obowiązującym tylko wewnątrz troposfery, nie wyżej niż ~18 km nad powierzchnią Ziemi (i niżej z dala od równika)): T = T 0 – L h {{displaystyle T=T_{0}-Lh,}
Ciśnienie na wysokości h {{displaystyle h}
jest dane przez: p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {displaystyle p=p_{0}}left(1-{frac {Lh}{T_{0}}}}right)^{gM/RL}}
Gęstość można następnie obliczyć zgodnie z molową formą prawa gazu doskonałego:
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {{{displaystyle \rho ={{frac {pM}{RT}}}={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,}
gdzie:
M = {{displaystyle M=}
masa molowa R = {displaystyle R=}
stała gazu idealnego T = {displaystyle T=}
temperatura bezwzględna p = {displaystyle p=}
ciśnienie bezwzględne
Zauważmy, że gęstość w pobliżu ziemi wynosi ρ 0 = p 0 M R T 0 {displaystyle ™rho _{0}={frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
Można łatwo sprawdzić, że zachodzi równanie hydrostatyczne:
d p d h = – g ρ {{displaystyle {dp}{dh}}}=-g}rho }
.
Przybliżenie wykładniczeEdit
Ponieważ temperatura zmienia się z wysokością wewnątrz troposfery o mniej niż 25%, L h T 0 < 0.25 {{displaystyle {{frac {Lh}{T_{0}}}<0.25}
i można przybliżyć: ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {displaystyle ρrho = ρrho _{0}e^{({{frac {gM}{RL}-.1)\cdot ln(1-{{Lh}{T_{0}}})}}approx \rho _{0}e^{-({\frac {gM}{RL}}-1){\frac {Lh}{T_{0}}}}= \rho _{0}e^{-({\frac {gMh}{RT_{0}}}-{\frac {Lh}{T_{0}}})}}.
Tak więc:
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {}
Co jest identyczne z rozwiązaniem izotermicznym, z tym wyjątkiem, że Hn, skala wysokości spadku wykładniczego dla gęstości (jak również dla gęstości liczbowej n), nie jest równa RT0/g M, jak można by się spodziewać dla atmosfery izotermicznej, ale raczej:
1 H n = g M R T 0 – L T 0 { {displaystyle {{{frac {1}{H_{n}}}={{frac {gM}{RT_{0}}}-{{frac {L}{T_{0}}}}
Co daje Hn = 10,4 km.
Zauważmy, że dla różnych gazów wartość Hn różni się w zależności od masy molowej M: dla azotu wynosi ona 10,9, dla tlenu 9,2, a dla dwutlenku węgla 6,3. Teoretyczna wartość dla pary wodnej wynosi 19,6, ale z powodu kondensacji pary wodnej zależność gęstości pary wodnej jest bardzo zmienna i nie jest dobrze aproksymowana przez ten wzór.
Ciśnienie można przybliżyć innym wykładnikiem:
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 { {p_{0}e^{({frac {gM}{RL})≈ ln(1-{{0}e^{-{gM}{RL}}}{{0}}}}approx p_{0}e^{-{gM}{RL}}{{0}}}}=p_{0}e^{-{gMh}{RT_{0}}}}}
Co jest identyczne z rozwiązaniem izotermicznym, z tą samą skalą wysokości Hp = RT0/gM. Zauważ, że równanie hydrostatyczne nie ma już zastosowania dla przybliżenia wykładniczego (chyba, że L jest zaniedbane).
Hp wynosi 8.4 km, ale dla różnych gazów (mierząc ich ciśnienie parcjalne), jest znowu inna i zależy od masy molowej, dając 8.7 dla azotu, 7.6 dla tlenu i 5.6 dla dwutlenku węgla.
Total contentEdit
Ponadto zauważ, że ponieważ g, ziemskie przyspieszenie grawitacyjne, jest w przybliżeniu stałe z wysokością w atmosferze, ciśnienie na wysokości h jest proporcjonalne do całki z gęstości w kolumnie powyżej h, a zatem do masy w atmosferze powyżej wysokości h.Dlatego ułamek masowy troposfery w całej atmosferze jest dany za pomocą przybliżonego wzoru na p:
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ) g M / R L = 76 % {{displaystyle 1-{prac {p(h=11km)}{p_{0}}}=1- lewa({{frac {T(11km)}{T_{0}}} prawa)^{gM/RL}=76}.
Dla azotu, wynosi on 75% , dla tlenu jest to 79%, a dla dwutlenku węgla – 88%.
TropopauzaEdit
Wyżej niż troposfera, w tropopauzie, temperatura jest w przybliżeniu stała z wysokością (do ~20 km) i wynosi 220 K. Oznacza to, że w tej warstwie L = 0 i T= 220K, a więc wykładniczy spadek jest szybszy i wynosi HTP = 6,3 km dla powietrza (6,5 dla azotu, 5,7 dla tlenu i 4,2 dla dwutlenku węgla). Zarówno ciśnienie jak i gęstość spełniają to prawo, więc oznaczając wysokość granicy między troposferą a tropopauzą jako U:
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P { {displaystyle p=p(U)⋅ e^{-.(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {{displaystyle ρrho = ρrho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
