Filtr górnoprzepustowy | Natuurondernemer

Inna metoda konwersji z czasu ciągłego na czas dyskretny, patrz Transformacja biliniowa.

Można również projektować filtry górnoprzepustowe czasu dyskretnego. Projektowanie filtrów czasu dyskretnego wykracza poza zakres tego artykułu, jednak prosty przykład pochodzi z konwersji powyższego filtru górnoprzepustowego czasu ciągłego do realizacji czasu dyskretnego. To znaczy, zachowanie w czasie ciągłym może być zdyskretyzowane.

Z obwodu na rysunku 1 powyżej, zgodnie z prawami Kirchhoffa i definicją pojemności:

{ V out ( t ) = I ( t ) R (V) Q c ( t ) = C ( V in ( t ) – V out ( t ) ) (Q) I ( t ) = d Q c d t (I) {{displaystyle {{begin{cases}}V_{text{out}}(t)=I(t)\, R& {{text{(V)}}Q_{c}(t)=C,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}}{}operatorname {d} t}}&{text{(I)}}.

$begin{cases}V_{text{out}}(t) = I(t)\, R \text{(V)}}Q_c(t) = C \, \left( V_{text{in}}(t) - V_{text{out}}(t) \) \prawda) \text{(Q)}}I(t) = \frac{operatorname{d} Q_c}{}operatorname{d} t} \end{cases}$

gdzie Q c ( t ) {{displaystyle Q_{c}(t)}

$Q_c(t)$

to ładunek zgromadzony w kondensatorze w chwili t {{displaystyle t}

$t$

. Podstawiając równanie (Q) do równania (I), a następnie równanie (I) do równania (V) otrzymujemy: V out ( t ) = C ( d V in d t – d V out d t ) ⏞ I ( t ) R = R C ( d V in d t – d V out d t ) { {{text{out}}(t)=overbrace { {C:}left({{frac {{operatorname {d} V_{text{in}} {{operatorname {d} t}}-{frac {{operatorname {d}} V_{text{out}}}{{operatorname {d} t}}}) ^{I(t)}} ^{I(t)}}, R=RC}, ^left({frac {operatorname {d} V_{text{in}} {{operatorname {d} t}}-{frac {{operatorname {d}} V_{text{out}}}{}operatorname {d} t}}}right)}

$V_{text{out}}(t) = \overbrace{C \, \left( \frac{operatorname{d} V_{text{in}}}{{operatorname{d}t} - \frac{operatorname{d} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t} \^{I(t)} \, R = R C \, \left( \frac{ \operatorname{d} V_{text{in}} {{operatorname{d}t} - \frac{operatorname{d} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t}$

Równanie to może być dyskretyzowane. Dla uproszczenia przyjmijmy, że próbki wejścia i wyjścia są pobierane w równomiernie oddalonych od siebie punktach w czasie, oddzielonych o Δ T {{displaystyle \Delta _{T}}

$Delta_T$

czasu. Niech próbki V w {{displaystyle V_{text{in}}}

$V_{text{in}}$

niech będą reprezentowane przez sekwencję ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}

$(x_1, x_2, ldots, x_n)$

, i niech V out {displaystyle V_{text{out}}}

$V_{text{out}}$

być reprezentowane przez ciąg ( y 1 , y 2 , … , y n ) {displaystyle (y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})}

$(y_1, y_2, ldots, y_n)$

które odpowiadają tym samym punktom w czasie. Dokonując tych podstawień: y i = R C ( x i – x i – 1 Δ T – y i – y i – 1 Δ T ) {przykład y_{i}=RC,\left({ \frac {x_{i}-x_{i-1}}{Delta _{T}}}-{ \frac {y_{i}-y_{i-1}}{Delta _{T}}}}right)}

$y_i = R C \, \left( \frac{x_i - x_{i-1}}{\Delta_T} - \frac{y_i - y_{i-1}}{ \Delta_T} \right)$

Przestawienie pojęć daje zależność rekurencyjną

y i = R C R C + Δ T y i – 1 ⏞ rozkładający się wkład z wcześniejszych danych wejściowych + R C R C + Δ T ( x i – x i – 1 ) ⏞ Składka od zmiany danych wejściowych {{displaystyle y_{i}= {{overbrace {{frac {RC}{RC+Delta _{T}}}}y_{i-1}} ^{text{Decaying contribution from prior inputs}}+overbrace {{RC}{RC+Delta _{T}}}left(x_{i}-x_{i-1}}}right)} ^{text{Wkład od zmiany wkładu}}.

$y_i = ^{overbrace{frac{RC}{RC + ^Delta_T}} y_{i-1}}^{text{Decaying contribution from prior inputs}} + \overbrace{\frac{RC}{RC + \Delta_T}} \^{left( x_i - x_{i-1} \right)}^{text{Składka malejąca od zmiany danych wejściowych}}$

To znaczy, ta dyskretno-czasowa implementacja prostego, ciągłego filtru górnoprzepustowego RC ma postać

y i = α y i – 1 + α ( x i – x i – 1 ) gdzie α ≜ R C R C + Δ T {{displaystyle y_{i}= alpha y_{i-}1}+alpha (x_{i}-x_{i-1})\quad {{where} \quad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+Delta _{T}}}}

$y_i = \alpha y_{i-1} + \alpha (x_{i} - x_{i-1}) \quad \text{where} \qquad \alpha \triangleq \frac{RC}{RC + \Delta_T}$

Z definicji wynika, że 0 ≤ α ≤ 1 {{displaystyle 0 \alpha \alpha \leq 1}.

$0 ≤ α ≤ 1$

. Wyrażenie dla parametru α {{displaystyle \alpha }

$alpha$

daje równoważną stałą czasową R C {displaystyle RC}

$RC$

w przeliczeniu na okres próbkowania Δ T {{displaystyle Delta _{T}}

$Delta_T$

i α {{displaystyle \a_pl}

$alfa$

: R C = Δ T ( α 1 – α ) {displaystyle RC= ΔDelta _{T}}left({frac {{1-alfa}}} right)}

$RC = \Delta_T \left( \frac{alfa}{1 - \alpha} \right)$

Przypominając, że

f c = 1 2 π R C {{displaystyle f_{c}}={frac {1}{2}pi RC}}}.

$f_{c}={frac {1}{2\pi RC}}$

więc R C = 1 2 π f c {{displaystyle RC={{frac {1}{2\pi f_{c}}}}

$RC={{displayrac {1}{2\pi f_{c}}$

tak więc α {{displaystyle \alpha }

$alpha$

i f c {{displaystyle f_{c}}

$f_{c}}$

są powiązane przez: α = 1 2 π Δ T f c + 1 {displaystyle alfa ={frac {1}{2}pi ΔDelta _{T}f_{c}+1}}}.

$alpha ={}rac {1}{2}pi \\Delta _{T}f_{c}+1}}$

f c = 1 – α 2 π α Δ T {{displaystyle f_{c}={}rac {1}alpha }{2}pi \Delta _{T}}}}

$f_{c}={frac {1-alfa }{2}pi ≥Delta _{T}}}$

Jeśli α = 0,5 {{displaystyle \alpha =0,5}

$alpha =0,5$

, to R C {displaystyle RC}

$RC$

stała czasowa równa okresowi próbkowania. Jeżeli α ≪ 0,5 {displaystyle ≪ 0,5}

$alfa ≪ 0.5$

, to R C {displaystyle RC}

$RC$

jest znacznie mniejsze od przedziału próbkowania, a R C ≈ α Δ T {displaystyle RC}

$RC \approx \alpha \Delta_T$

Implementacja algorytmuEdit

Zależność rekurencyjna filtra zapewnia sposób określania próbek wyjściowych w kategoriach próbek wejściowych i poprzedzającego wyjścia. Poniższy algorytm pseudokodu będzie symulował wpływ filtra górnoprzepustowego na serię próbek cyfrowych, zakładając równe odstępy między próbkami:

// Return RC high-pass filter output samples, given input samples,// time interval dt, and time constant RCfunction highpass(real x, real dt, real RC) var real y var real α := RC / (RC + dt) y := x for i from 2 to n y := α × y + α × (x − x) return y

Pętla, która oblicza każdą z n {{displaystyle n}

$n$

wyjścia można refaktoryzować do odpowiednika:

 for i from 2 to n y := α × (y + x − x)

Wcześniejsza postać pokazuje jednak, jak parametr α zmienia wpływ wcześniejszego wyjścia y i bieżącej zmiany wejścia (x – x). W szczególności,

Duży α implikuje, że produkcja będzie się rozkładać bardzo powoli, ale będzie też silnie oddziaływać na nią nawet niewielka zmiana wejścia. Przez zależność między parametrem α a stałą czasową R C {{displaystyle RC}}
$RC$

powyżej, duże α odpowiada dużemu R C {displaystyle RC}

$RC$

i tym samym niskiej częstotliwości narożnej filtru. Stąd przypadek ten odpowiada filtrowi górnoprzepustowemu o bardzo wąskim paśmie zaporowym. Ponieważ jest on wzbudzany przez małe zmiany i ma tendencję do utrzymywania wcześniejszych wartości wyjściowych przez długi czas, może on przepuszczać stosunkowo niskie częstotliwości. Jednakże, wejście stałe (tzn. wejście z (x – x)=0) będzie zawsze zanikać do zera, jak można by się spodziewać w przypadku filtru górnoprzepustowego o dużym R C {displaystyle RC}.

$RC$

.
Małe α implikuje, że wyjście będzie szybko zanikać i będzie wymagało dużych zmian na wejściu (tj. (x – x) jest duże), aby spowodować dużą zmianę na wyjściu. Z zależności między parametrem α a stałą czasową R C {{displaystyle RC}}
$RC$

powyżej, małemu α odpowiada małe R C {displaystyle RC}

$RC$

a więc dużej częstotliwości narożnej filtru. Stąd ten przypadek odpowiada filtrowi górnoprzepustowemu o bardzo szerokim paśmie zaporowym. Ponieważ wymaga on dużych (tj. szybkich) zmian i ma tendencję do szybkiego zapominania wcześniejszych wartości wyjściowych, może przepuszczać tylko stosunkowo wysokie częstotliwości, jak można by się spodziewać w przypadku filtra górnoprzepustowego o małej wartości R C {\i0}.

$RC$

.

Implementacja algorytmuEdit

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi