Faktoryzacja trójmianów
Cel(e) nauczania
– Faktoryzacja trójmianów o współczynniku wiodącym 1.
– Podstawianie trójmianów ze wspólnym współczynnikiem.
– Fakturowanie trójmianów o współczynniku wiodącym innym niż 1.
Wprowadzenie
Wielomian o trzech wyrazach nazywamy trójmianem. Trójmian często (ale nie zawsze!) ma postać x2 + bx + c. Na pierwszy rzut oka fakturowanie trójmianów może wydawać się trudne, ale można skorzystać z pewnych ciekawych wzorów matematycznych, aby fakturować nawet najtrudniej wyglądające trójmianu.
Jak więc przejść od 6×2 + 2x – 20 do (2x + 4)(3x -5)? Przyjrzyjmy się.
Faktoryzacja trójmianów: x2 + bx + c
Trójmian w postaci x2 + bx + c może być często faktoryzowany jako iloczyn dwóch dwumianów. Pamiętaj, że dwumian to po prostu wielomian o dwóch terminach. Zacznijmy od sprawdzenia, co się dzieje, gdy dwa dwumiany, takie jak (x + 2) i (x + 5), są mnożone.
|
Przykład |
||
|
Problem |
Mnożenie (x + 2)(x + 5). |
|
|
(x + 2)(x + 5) |
Użyj metody FOIL do mnożenia dwumianów. |
|
|
x2 + 5x + 2x +10 |
Następnie połącz podobne wyrażenia 2x i 5x. |
|
|
Odpowiedź |
x2 + 7x +10 |
|
Faktoryzacja jest odwrotnością mnożenia. Więc pójdźmy w odwrotnym kierunku i czynnikiem trójmianu x2 + 7x + 10. Poszczególne warunki x2, 7x, i 10 nie mają wspólnych czynników. Spójrzmy więc na przepisanie x2 + 7x + 10 jako x2 + 5x + 2x + 10.
Możemy też pogrupować pary czynników: (x2 + 5x) + (2x + 10)
Faktoryzuj każdą parę: x(x + 5) + 2(x + 5)
Potem wykreśl wspólny czynnik x + 5: (x + 5)(x + 2)
Oto ten sam problem zrobiony w formie przykładu:
|
Przykład Przykład. |
||
|
Problem |
Współczynnik x2 + 7x +10. |
|
|
x2 + 5x + 2x +10 |
Przepisz środkowy człon 7x jako 5x + 2x. |
|
|
x(x + 5) + 2(x + 5) |
Pogrupuj pary i wyznacz wspólny czynnik x z pierwszej pary i 2 z drugiej pary. |
|
|
(x + 5)(x + 2) |
Wykreśl wspólny czynnik (x + 5). |
|
|
Odpowiedź |
(x + 5)(x +. 2) |
|
Skąd wiesz, jak przepisać środkowy termin? Niestety, nie możesz przepisać go w dowolny sposób. Jeśli przepiszesz 7x jako 6x + x, ta metoda nie będzie działać. Na szczęście jest na to pewna reguła.
Faktoryzacja trójmianów w postaci x2 + bx + c
Aby faktoryzować trójmian w postaci x2 + bx + c, znajdź dwie liczby całkowite, r i s, których iloczynem jest c, a sumą b.
Przepisz trójmian jako x2 + rx + sx + c, a następnie użyj grupowania i własności dystrybuanty, aby rozpłatać wielomian. Otrzymane czynniki będą (x + r) i (x + s).
Na przykład, aby czynnik x2 + 7x +10, szukasz dwóch liczb, których suma wynosi 7 (współczynnik środkowego członu) i których iloczyn wynosi 10 (ostatni człon).
Spójrz na pary czynników 10: 1 i 10, 2 i 5. Czy któraś z tych par ma sumę 7? Tak, 2 i 5. Więc możesz przepisać 7x jako 2x + 5x i kontynuować faktoryzację, jak w powyższym przykładzie. Zauważ, że możesz również przepisać 7x jako 5x + 2x. Oba będą działać.
Faktoryzujmy trójmian x2 + 5x + 6. W tym wielomianie część b środkowego wyrazu jest równa 5, a część c jest równa 6. Wykres pomoże nam uporządkować możliwości. Po lewej stronie wypisujemy wszystkie możliwe współczynniki wyrazu c, czyli 6, a po prawej sumy.
|
Faktory, których iloczyn wynosi 6 |
Suma czynników |
|
|
1 – 6 = 6 |
1 + 6 = 7 |
|
|
2 – 3 = 6 |
2 + 3 = 5 |
Istnieją tylko dwie możliwe kombinacje czynników, 1 i 6 oraz 2 i 3. Widać, że 2 + 3 = 5. Zatem 2x + 3x = 5x, co daje nam prawidłowy termin środkowy.
|
Przykład |
||
|
Problem |
Współczynnik x2 + 5x + 6. |
|
|
x2 + 2x + 3x + 6 |
Użyj wartości z powyższego wykresu. Zamień 5x na 2x + 3x. |
|
| (x2 + 2x) + (3x + 6) |
Pogrupuj pary wyrażeń. |
|
|
x(x + 2) + (3x + 6) |
Wyróżnij x z pierwszej pary wyrażeń. |
|
|
x(x + 2) + 3(x + 2) |
Faktor 3 z drugiej pary terminów. |
|
|
(x + 2)(x + 3) |
Wyróżnij (x + 2). |
|
|
Odpowiedź |
(x + 2)(x + 3) |
|
Zauważ, że jeśli napisałeś x2 + 5x + 6 jako x2 + 3x + 2x + 6 i pogrupowałeś pary jako (x2 + 3x) + (2x + 6); następnie fakturowane, x(x + 3) + 2(x + 3), i fakturowane z x + 3, odpowiedź byłaby (x + 3)(x + 2). Ponieważ mnożenie jest komutatywne, kolejność czynników nie ma znaczenia. Więc ta odpowiedź jest również poprawna; są to równoważne odpowiedzi.
Na koniec spójrzmy na trójmian x2 + x – 12. W tym trójmianu, członem c jest -12. Spójrzmy więc na wszystkie kombinacje czynników, których iloczynem jest -12. Następnie zobacz, która z tych kombinacji da ci poprawny środkowy człon, gdzie b jest równe 1.
|
Faktory, których iloczyn wynosi -12 |
Suma czynników |
|
1 – -12 = -12 |
1 + -12 = -11 |
|
2 – -6 = -12 |
2 + -6 = -4 |
|
3 – -4 = -12 |
3 + -4 = -1 |
|
4 – -3 = -12 |
4 + -3 = 1 |
|
6 – -2 = -12 |
6 + -2 = 4 |
|
12 – -1 = -12 |
12 + -1 = 11 |
Istnieje tylko jedna kombinacja, w której iloczyn wynosi -12, a suma wynosi 1, i to jest, gdy r = 4, i s = -3. Użyjmy ich do obliczenia naszego oryginalnego trójmianu.
|
Przykład |
||
|
Problem |
Współczynnik x2 + x – 12 |
|
|
x2 + 4x + -3x – 12 |
Opisać ponownie trójmian z wykorzystaniem wartości z powyższego wykresu. Użyj wartości r = 4 i s = -3. |
|
|
(x2 + 4x) + (-3x – 12) |
Pogrupuj pary wyrazów. |
|
|
x(x + 4) + (-3x – 12) |
Wyznacz x z pierwszej grupy. |
|
|
x(x + 4) – 3(x + 4) |
Faktor -3 z drugiej grupy. |
|
|
(x + 4)(x – 3) |
Wyróżnij (x + 4). |
|
|
Odpowiedź |
(x + 4)(x – 3) |
|
W powyższym przykładzie, możesz również przepisać x2 + x – 12 jako x2 – 3x + 4x – 12 najpierw. Następnie czynnik x(x – 3) + 4(x – 3), a następnie czynnik (x – 3) otrzymując (x – 3)(x + 4). Ponieważ mnożenie jest komutatywne, jest to ta sama odpowiedź.
Porady dotyczące faktoryzacji
Faktoryzacja trójmianów jest kwestią praktyki i cierpliwości. Czasami, odpowiednie kombinacje liczb po prostu wyskoczą i wydadzą się tak oczywiste! Innym razem, pomimo wypróbowania wielu możliwości, poprawne kombinacje są trudne do znalezienia. Zdarza się też, że trójmian nie może być faktoryzowany.
Pomimo że nie ma niezawodnego sposobu na znalezienie właściwej kombinacji przy pierwszym podejściu, istnieją pewne wskazówki, które mogą ułatwić drogę.
Wskazówki, jak znaleźć wartości, które działają
Podczas faktoryzacji trójmianu w postaci x2 + bx + c należy wziąć pod uwagę następujące wskazówki.
Spójrz najpierw na człon c.
o Jeśli człon c jest liczbą dodatnią, to czynniki c będą dodatnie lub ujemne. Innymi słowy, r i s będą miały ten sam znak.
o Jeśli człon c jest liczbą ujemną, wtedy jeden czynnik c będzie dodatni, a jeden czynnik c będzie ujemny. Albo r, albo s będzie ujemne, ale nie oba.
Spójrz na drugi człon b.
o Jeśli człon c jest dodatni i człon b jest dodatni, to zarówno r, jak i s są dodatnie.
o Jeśli termin c jest dodatni, a termin b jest ujemny, to zarówno r, jak i s są ujemne.
o Jeśli termin c jest ujemny, a termin b jest dodatni, to czynnik, który jest dodatni, będzie miał większą wartość bezwzględną. To znaczy, jeśli |r| > |s|, to r jest dodatnie, a s jest ujemne.
o Jeśli składowa c jest ujemna, a składowa b jest ujemna, to czynnik, który jest ujemny, będzie miał większą wartość bezwzględną. To znaczy, jeśli |r| > |s|, to r jest ujemne, a s jest dodatnie.
Po uśrednieniu pewnej liczby trójmianów w postaci x2 + bx + c, możesz zauważyć, że liczby, które zidentyfikowałeś dla r i s są zawarte w uśrednionej postaci trójmianu. Przyjrzyj się poniższej tabeli, która zawiera przegląd trzech problemów, które do tej pory widziałeś.
|
Trójmian |
x2 + 7x + 10 |
x2 + 5x + 6 |
x2 + x -. 12 |
|
wartościr i s |
r = + 5, s = + 2 |
r = + 2, s = + 3 |
r = + 4, s = -3 |
|
Faktoryzowana forma |
(x + 5)(x + 2) |
(x + 2)(x + 3) |
(x + 4)(x – 3) |
Zauważ, że w każdym z tych przykładów, wartości r i s są powtarzane w postaci faktoryzowanej trójmianu.
Co to więc oznacza? Oznacza to, że w trójmianach o postaci x2 + bx + c (gdzie współczynnik przed x2 wynosi 1), jeśli potrafisz zidentyfikować prawidłowe wartości r i s, możesz skutecznie pominąć kroki grupowania i przejść od razu do postaci faktoryzowanej. Być może warto pozostać przy metodzie grupowania, dopóki nie opanuje się faktoryzacji, ale jest to bardzo przydatny skrót, o którym warto wiedzieć!
Jess próbuje użyć metody grupowania do faktoryzacji trójmianu v2 – 10v + 21. Jak powinna zapisać środkowy człon b, -10v?
A) +7v + 3v
B) -7v – 3v
C) -7v + 3v
D) +7v – 3v
Identyfikacja czynników wspólnych
Nie wszystkie trójmian wyglądają jak x2 + 5x + 6, gdzie współczynnik przed członem x2 wynosi 1. W takich przypadkach, pierwszym krokiem powinno być szukanie wspólnych czynników dla trzech członów.
|
Trójmian |
Współczynnik out Common Factor |
Factored |
|
2×2 + 10x + 12 |
2(x2 + 5x + 6) |
2(x + 2)(x + 3) |
|
-5a2 – 15a – 10 |
-5(a2 + 3a + 2) |
-5(a + 2)(a + 1) |
|
c3 – 8c2 + 15c |
c(c2 – 8c + 15) |
c(c – 5)(c – 3) |
|
y4 – 9y3 – 10y2 |
y2(y2 – 9y – 10) |
y2(y – 10)(y + 1) |
Zauważ, że po zidentyfikowaniu i wyciągnięciu wspólnego czynnika, można czynnik pozostały trinomial jak zwykle. Proces ten jest pokazany poniżej.
|
Przykład |
||
|
Problem |
Współczynnik 3×3 – 3×2 – 90x. |
|
|
3(x3 – x2 – 30x) |
Ponieważ 3 jest wspólnym czynnikiem dla trzech warunków, rozprowadź czynnik 3. |
|
|
3x(x2 – x – 30) |
x jest również wspólnym czynnikiem, więc odfakturuj x. |
|
|
3x(x2 – 6x + 5x – 30) |
Teraz można wyznaczyć współczynnik trójmianu x2 – x – 30. Aby znaleźć r i s, wskaż dwie liczby, których iloczyn wynosi -30, a suma -1. Parą czynników są -6 i 5. Zamień więc -x na -6x + 5x. |
|
|
3x |
Użyj grupowania, aby rozważyć wyrażenia w parach. |
|
|
3x |
Faktor x z pierwszej grupy i czynnik 5 z drugiej grupy. |
|
|
3x(x – 6)(x + 5) |
Potem współczynnik x – 6. |
|
|
Podpowiedź |
3x(x – 6)(x + 5) |
|
Faktoryzacja trójmianów: ax2 + bx + c
Ogólną postacią trójmianów o współczynniku wiodącym a jest ax2 + bx + c. Czasami czynnik a może być faktoryzowany, jak widać powyżej; dzieje się tak, gdy a może być faktoryzowane ze wszystkich trzech warunków. Pozostały trójmian, który nadal wymaga faktoryzacji, będzie wtedy prostszy, z wiodącym członem będącym tylko członem x2, zamiast członu ax2.
Jeśli jednak współczynniki wszystkich trzech wyrazów trójmianu nie mają wspólnego czynnika, to trzeba będzie podstawić trójmian o współczynniku innym niż 1.
Faktoryzacja trójmianu w postaci ax2 + bx + c
Aby podstawić trójmian w postaci ax2 + bx + c, znajdź dwie liczby całkowite, r i s, których suma jest b, a iloczyn ac. Zapisz ten trójmian jako ax2 + rx + sx + c, a następnie użyj grupowania i własności dystrybuanty, aby rozpłatać wielomian.
To jest prawie to samo, co rozpłatanie trójmianu w postaci x2 + bx + c, ponieważ w tej postaci a = 1. Teraz szukasz dwóch czynników, których iloczynem jest a – c, a sumą jest b.
Zobaczmy, jak działa ta strategia na przykładzie faktoryzacji 6z2 + 11z + 4.
W tym trójmianu, a = 6, b = 11, a c = 4. Zgodnie z tą strategią, musisz znaleźć dwa czynniki, r i s, których suma jest b (11) i których iloczyn jest ac (lub 6 – 4 = 24). Możesz zrobić wykres, aby uporządkować możliwe kombinacje czynników. (Zauważ, że w tabeli są tylko liczby dodatnie. Ponieważ ac jest dodatnie i b jest dodatnie, możesz być pewien, że dwa czynniki, których szukasz, są również liczbami dodatnimi.)
|
Faktory, których iloczyn wynosi. 24 |
Suma czynników
|
|
1 – 24 = 24 |
1 + 24 = 25 |
|
2 – 12 = 24 |
2 + 12 = 14 |
|
3 – 8 = 24 |
3 + 8 = 11 |
|
4 – 6 = 24 |
4 +. 6 = 10 |
Jest tylko jedna kombinacja, w której iloczyn wynosi 24, a suma wynosi 11, i to jest, gdy r = 3, i s = 8. Użyjmy tych wartości do obliczenia współczynnika oryginalnego trójmianu.
|
Przykład |
||
|
Problem |
Współczynnik 6z2 + 11z + 4. |
|
|
6z2 + 3z + 8z + 4 |
Przepisz środkowy człon, 11z, jako 3z + 8z (z powyższego wykresu.) |
|
|
(6z2 + 3z) + (8z + 4) |
Grupowanie par. Użyj grupowania, aby rozważyć terminy w parach. |
|
|
3z(2z + 1) + 4(2z + 1) |
Faktor 3z z pierwszej grupy i 4 z drugiej grupy. |
|
|
(2z + 1)(3z + 4) |
Wyróżnij (2z + 1). |
|
|
Odpowiedź |
(2z + 1)(3z + 4) |
|
Przed przystąpieniem do dalszych czynności, warto wspomnieć, że nie wszystkie trójmianowe mogą być faktoryzowane przy użyciu par liczb całkowitych. Weźmy na przykład trójmian 2z2 + 35z + 7. Czy potrafisz wskazać dwie liczby całkowite, których suma jest b (35), a iloczyn jest ac (2 – 7 = 14)? Nie ma takich! Tego typu trójmian, którego nie da się rozwiązać za pomocą liczb całkowitych, nazywamy trójmianem pierwszorzędnym.
Faktoryzacja 3×2 + x – 2.
A) (3x + 2)(x – 1)
B) (3x – 2)(x + 1)
C) (3x + 1)(x – 2)
D) (3x – 1)(x + 2)
Wyrażenia ujemne
W niektórych sytuacjach, a jest ujemne, jak w -4h2 + 11h + 3. Często sensowne jest wyfakturowanie -1 jako pierwszy krok w faktoryzacji, ponieważ zmieni to znak ax2 z ujemnego na dodatni, dzięki czemu pozostały trójmian będzie łatwiejszy do wyfakturowania.
|
Przykład |
||||||||||
|
Problem |
Współczynnik. -4h2 + 11h + 3 |
|||||||||
|
-1(4h2 – 11h – 3) |
Wykreśl -1 z trójmianu. Zauważ, że znaki wszystkich trzech członów zmieniły się. |
|||||||||
|
-1(4h2 – 12h + 1h – 3) |
Aby wyznaczyć współczynnik trójmianu, musisz dowiedzieć się, jak przepisać -11h. Iloczyn rs = 4 – -3 = -12, a suma rs = -11.
Zapisz ponownie termin środkowy -11h jako -12h + 1h. |
|||||||||
|
-1 |
Grupowanie terminów. |
|||||||||
|
-1 |
Faktoryzuj 4h z pierwszej pary. Druga grupa nie może być dalej faktoryzowana, ale możesz ją zapisać jako +1(h – 3), ponieważ +1(h – 3) = (h – 3). To pomaga w faktoryzacji w następnym kroku. |
|||||||||
|
-1 |
Faktoryzuj wspólny czynnik (h – 3). Zauważ, że zostałeś z (h – 3)(4h + 1); +1 pochodzi z określenia +1(h – 3) w poprzednim kroku. |
|||||||||
|
Odpowiedź |
-1(h – 3)(4h + 1) |
|||||||||
Zauważ, że powyższa odpowiedź może być również zapisana jako (-h + 3)(4h + 1) lub (h – 3)( -4h – 1), jeśli pomnożysz -1 razy jeden z pozostałych czynników.
Podsumowanie
Trójmian w postaci x2 + bx + c może być faktoryzowany przez znalezienie dwóch liczb całkowitych, r i s, których suma jest b, a iloczyn jest c. Przepisz trójmian jako x2 + rx + sx + c, a następnie użyj grupowania i własności dystrybuanty do faktoryzacji wielomianu.
Gdy trójmian jest w postaci ax2 + bx + c, gdzie a jest współczynnikiem innym niż 1, poszukaj najpierw wspólnych czynników dla wszystkich trzech członów. Najpierw rozpisz na czynniki wspólny czynnik, a następnie rozpisz na czynniki pozostały prostszy trójmian. Jeśli pozostały trójmian jest nadal postaci ax2 + bx + c, to znajdź dwie liczby całkowite, r i s, których suma jest b, a iloczyn ac. Następnie przepisz trójmian jako ax2 + rx + sx + c i użyj grupowania oraz własności dystrybuanty do współczynnika tego wielomianu.