Factoring Trinomials

Factoring Trinomials

Objectivo(s)

– Factor trinómios com um coeficiente principal de 1.

– Trinómios de factor com um factor comum.

– Trinómios de factor com um coeficiente principal diferente de 1.

Um polinómio com três termos é chamado trinómio. Os trinómios frequentemente (mas nem sempre!) têm a forma x2 + bx + c. À primeira vista, pode parecer difícil factorar trinómios, mas pode tirar partido de alguns padrões matemáticos interessantes para factorar mesmo os trinómios de aspecto mais difícil.

Então, como se obtém de 6×2 + 2x – 20 a (2x + 4)(3x -5)? Vejamos.

Trinomials na forma x2 + bx + c pode muitas vezes ser factorado como o produto de dois binómios. Lembre-se de que um binómio é simplesmente um polinómio de dois termos. Comecemos por rever o que acontece quando dois binómios, tais como (x + 2) e (x + 5), são multiplicados.

Factoring é o contrário da multiplicação. Portanto, vamos ao inverso e factoremos o trinómio x2 + 7x + 10. Os termos individuais x2, 7x, e 10 não partilham factores comuns. Assim, vejamos a reescrita x2 + 7x + 10 como x2 + 5x + 2x + 10.

E, pode-se agrupar pares de factores: (x2 + 5x) + (2x + 10)

Factor cada par: x(x + 5) + 2(x + 5)

Fator fora o factor comum x + 5: (x + 5)(x + 2)

Aqui é o mesmo problema feito sob a forma de exemplo:

Como é que se sabe reescreve o termo médio? Infelizmente, não se pode reescrevê-lo de forma alguma. Se reescrever 7x como 6x + x, este método não vai funcionar. Felizmente, há uma regra para isso.

Factoring Trinomials na forma x2 + bx + c

Para factorar um trinómio na forma x2 + bx + c, encontre dois inteiros, r e s, cujo produto é c e cuja soma é b.

Reescrever o trinómio na forma x2 + rx + sx + c, e depois utilizar o agrupamento e a propriedade distributiva para factorar o polinómio. Os factores resultantes serão (x + r) e (x + s).

Por exemplo, para o factor x2 + 7x +10, procura-se dois números cuja soma seja 7 (o coeficiente do termo médio) e cujo produto seja 10 (o último termo).

Localize os pares de factores de 10: 1 e 10, 2 e 5. Algum destes pares tem uma soma de 7? Sim, 2 e 5. Portanto, pode reescrever 7x como 2x + 5x, e continuar o factoring como no exemplo acima. Note que também se pode reescrever 7x como 5x + 2x. Ambos funcionarão.

P>Deixe o factor do trinómio x2 + 5x + 6. Neste polinómio, a parte b do termo médio é 5 e o termo c é 6. Um gráfico irá ajudar-nos a organizar as possibilidades. À esquerda, liste todos os factores possíveis do termo c, 6; à direita, encontrará as somas.

Existem apenas duas combinações de factores possíveis, 1 e 6, e 2 e 3. Pode-se ver que 2 + 3 = 5. Portanto 2x + 3x = 5x, dando-nos o termo médio correcto.

Nota que se escreveu x2 + 5x + 6 como x2 + 3x + 2x + 6 e agrupou os pares como (x2 + 3x) + (2x + 6); então factored, x(x + 3) + 2(x + 3), e factored x + 3, a resposta seria (x + 3)(x + 2). Uma vez que a multiplicação é comutativa, a ordem dos factores não importa. Portanto, esta resposta também é correcta; são respostas equivalentes.

Finalmente, vejamos o trinómio x2 + x – 12. Neste trinómio, o termo c é -12. Portanto, vejamos todas as combinações de factores cujo produto é -12. Depois ver qual destas combinações lhe dará o termo médio correcto, onde b é 1.

Existe apenas uma combinação em que o produto é -12 e a soma é 1, e isto é quando r = 4, e s = -3. Utilizemo-los para factorizar o nosso trinómio original.

Factoring trinomials é uma questão de prática e paciência. Por vezes, as combinações numéricas apropriadas surgem e parecem tão óbvias! Outras vezes, apesar de se tentarem muitas possibilidades, as combinações correctas são difíceis de encontrar. E, há alturas em que o trinómio não pode ser factorado.

Embora não haja uma forma infalível de encontrar a combinação certa à primeira tentativa, há algumas dicas que podem facilitar o caminho.

p>Dicas para encontrar valores que funcionem

Quando factorar um trinómio na forma x2 + bx + c, considerar as seguintes dicas.

Ler primeiro o termo c.

o Se o termo c for um número positivo, então os factores de c serão ambos positivos ou ambos negativos. Por outras palavras, r e s terão o mesmo sinal.

o Se o termo c for um número negativo, então um factor de c será positivo, e um factor de c será negativo. Ou r ou s será negativo, mas não os dois.

Localize o termo b segundo.

o Se o termo c for positivo e o termo b for positivo, então ambos r e s são positivos.

o Se o termo c for positivo e o termo b for negativo, então ambos r e s são negativos.

o Se o termo c for negativo e o termo b for positivo, então o factor que é positivo terá o maior valor absoluto. Isto é, se |r| > |s|, então r é positivo e s é negativo.

o Se o termo c é negativo e o termo b é negativo, então o factor que é negativo terá o maior valor absoluto. Isto é, se |r| > |s|, então r é negativo e s é positivo.

Depois de ter factorado um número de trinómios na forma x2 + bx + c, poderá notar que os números que identifica para r e s acabam por ser incluídos na forma factorada do trinómio. Dê uma vista de olhos ao seguinte quadro, que revê os três problemas que tem visto até agora.

Notificação de que em cada um destes exemplos, os valores r e s são repetidos na forma factorizada do trinómio.

Então, o que significa isto? Significa que nos trinómios da forma x2 + bx + c (onde o coeficiente em frente de x2 é 1), se conseguir identificar os valores r e s correctos, pode efectivamente saltar as etapas de agrupamento e ir directamente para a forma factorizada. Pode querer continuar com o método de agrupamento até se sentir confortável com o factoring, mas este é um atalho limpo a conhecer!

br>>p>Jess está a tentar usar o método de agrupamento para factorar o trinómio v2 – 10v + 21. Como deve ela reescrever o termo central b, -10v?

A) +7v + 3v

B) -7v – 3v

C) -7v + 3v

D) +7v – 3v

Nem todos os trinómios se parecem x2 + 5x + 6, em que o coeficiente em frente do termo x2 é 1. Nestes casos, o seu primeiro passo deve ser procurar factores comuns para os três termos.

Notificação de que uma vez identificado e retirado o factor comum, pode considerar o trinómio restante como de costume. Este processo é mostrado abaixo.

A forma geral dos trinómios com um coeficiente principal de a é ax2 + bx + c. Por vezes o factor de a pode ser factorado como se viu acima; isto acontece quando um pode ser factorado de todos os três termos. O trinómio restante que ainda necessita de factoring será então mais simples, sendo o termo principal apenas um termo x2, em vez de um termo ax2.

No entanto, se os coeficientes dos três termos de um trinómio não tiverem um factor comum, então será necessário factorar o trinómio com um coeficiente de algo diferente de 1,

Factoring Trinomials na forma ax2 + bx + c

Para factorar um trinómio na forma ax2 + bx + c, encontrar dois inteiros, r e s, cuja soma é b e cujo produto é ac. Reescrever o trinómio na forma ax2 + rx + sx + c e depois utilizar o agrupamento e a propriedade distributiva para factorar o polinómio.

Isto é quase o mesmo que factorar trinómio na forma x2 + bx + c, como nesta forma a = 1. Agora procura-se dois factores cujo produto é a – c, e cuja soma é b.

Vejamos como funciona esta estratégia através do factoring 6z2 + 11z + 4.

Neste trinómio, a = 6, b = 11, e c = 4. De acordo com a estratégia, é necessário encontrar dois factores, r e s, cuja soma é b (11) e cujo produto é ac (ou 6 – 4 = 24). É possível fazer um gráfico para organizar as combinações possíveis de factores. (Repare que este gráfico só tem números positivos. Uma vez que ac é positivo e b é positivo, pode ter a certeza de que os dois factores que procura são também números positivos.)

Existe apenas uma combinação em que o produto é 24 e a soma é 11, e isto é quando r = 3, e s = 8. Utilizemos estes valores para factorizar o trinómio original.

antes de ir mais longe, vale a pena mencionar que nem todos os trinómios podem ser factorados usando pares inteiros. Tomemos o trinómio 2z2 + 35z + 7, por exemplo. Consegue pensar em dois inteiros cuja soma é b (35) e cujo produto é ac (2 – 7 = 14)? Não há nenhum! Este tipo de trinómio, que não pode ser factorado utilizando números inteiros, é chamado trinómio principal.

Factor 3×2 + x – 2.

A) (3x + 2)(x – 1)

B) (3x – 2)(x + 1)

C) (3x + 1)(x – 2)

D) (3x – 1)(x + 2)

Em algumas situações, a é negativo, como em -4h2 + 11h + 3. Muitas vezes faz sentido factorar -1 como primeiro passo no factoring, pois ao fazê-lo mudará o sinal do ax2 de negativo para positivo, tornando o trinómio restante mais fácil de factorar.

Nota que a resposta acima também pode ser escrita como (-h + 3)(4h + 1) ou (h – 3)( -4h – 1) se se multiplicar -1 vezes um dos outros factores.

Trinómios na forma x2 + bx + c podem ser factores, encontrando dois inteiros, r e s, cuja soma é b e cujo produto é c. Reescrever o trinómio como x2 + rx + sx + c e depois utilizar o agrupamento e a propriedade distributiva para factorar o polinómio.

Quando um trinómio tem a forma de ax2 + bx + c, onde a é um coeficiente diferente de 1, procurar primeiro os factores comuns para os três termos. Factorizar primeiro o factor comum, depois factorar o trinómio restante mais simples. Se o trinómio restante ainda for da forma ax2 + bx + c, encontrar dois inteiros, r e s, cuja soma é b e cujo produto é ac. Depois reescrever o trinómio como ax2 + rx + sx + c e utilizar o agrupamento e a propriedade distributiva para factorizar o polinómio.