Trinomialen ontbinden in factoren

– Trinomialen ontbinden in factoren

Leerdoel(en)

– Factor trinomialen met een hoofdcoëfficiënt van 1.

– Factor trinomialen met een gemeenschappelijke factor.

– Factor trinomialen met een andere hoofdcoëfficiënt dan 1.

Inleiding

Een polynoom met drie termen heet een trinomiaal. Trinomialen hebben vaak (maar niet altijd!) de vorm x2 + bx + c. Op het eerste gezicht lijkt het misschien moeilijk om trinomialen te ontbinden in factoren, maar je kunt gebruik maken van een aantal interessante wiskundige patronen om zelfs de moeilijkst lijkende trinomialen te ontbinden in factoren.

Dus, hoe kom je van 6×2 + 2x – 20 tot (2x + 4)(3x -5)? Laten we eens kijken.

Trinomialen ontbinden: x2 + bx + c

Trinomialen in de vorm x2 + bx + c kunnen vaak worden ontbonden in factoren als het product van twee binomialen. Bedenk dat een binomiaal eenvoudigweg een polynoom met twee termen is. Laten we beginnen met te bekijken wat er gebeurt als twee binomialen, zoals (x + 2) en (x + 5), met elkaar worden vermenigvuldigd.

Voorbeeld
Probleem	Multiply (x + 2)(x + 5).
	(x + 2)(x + 5)	Gebruik de FOIL-methode om binomialen te vermenigvuldigen.
	x2 + 5x + 2x +10	Samenvoeg dan de gelijke termen 2x en 5x.
Antwoord	x2 + 7x +10

Factoren is het omgekeerde van vermenigvuldigen. Dus laten we het omgekeerde doen en de trinomiaal x2 + 7x + 10 ontbinden in factoren. De individuele termen x2, 7x, en 10 hebben geen gemeenschappelijke factoren. Dus laten we x2 + 7x + 10 herschrijven als x2 + 5x + 2x + 10.

En, je kunt paren van factoren groeperen: (x2 + 5x) + (2x + 10)

Factor elk paar: x(x + 5) + 2(x + 5)

Dan de gemeenschappelijke factor x + 5 eruit: (x + 5)(x + 2)

Hier is hetzelfde probleem gedaan in de vorm van een voorbeeld:

Voorbeeld
Probleem	Factor x2 + 7x +10.
	x2 + 5x + 2x +10	Herschrijf de middelste term 7x als 5x + 2x.
	x(x + 5) + 2(x + 5)	Groepeer de paren en verwijder de gemeenschappelijke factor x uit het eerste paar en 2 uit het tweede paar.
	(x + 5)(x + 2)	Factor de gemeenschappelijke factor uit (x + 5).
Antwoord	(x + 5)(x + 2)

Hoe weet je hoe je de middelste term moet herschrijven? Helaas, je kunt het niet op elke manier herschrijven. Als je 7x herschrijft als 6x + x, werkt deze methode niet. Gelukkig is daar een regel voor.

Factoren van trinomialen van de vorm x2 + bx + c

Om een trinomiaal van de vorm x2 + bx + c te ontbinden in factoren, zoek je twee gehele getallen, r en s, waarvan het product c is en de som b is.

Herschrijf het trinomium als x2 + rx + sx + c en gebruik dan groepering en de distributieve eigenschap om het polynoom te ontbinden in factoren. De resulterende factoren zijn (x + r) en (x + s).

Om bijvoorbeeld x2 + 7x +10 te ontbinden in factoren, zoek je twee getallen waarvan de som 7 is (de coëfficiënt van de middelste term) en waarvan het product 10 is (de laatste term).

Kijk naar factorparen van 10: 1 en 10, 2 en 5. Heeft een van deze paren een som van 7? Ja, 2 en 5. Dus je kunt 7x herschrijven als 2x + 5x, en verder ontbinden in factoren zoals in het voorbeeld hierboven. Merk op dat je 7x ook kunt herschrijven als 5x + 2x. Beide werken.

Laten we de trinomiaal x2 + 5x + 6 ontbinden in factoren. In dit veeltermgetal is het b-deel van de middelste term 5 en de c- term 6. Een schema helpt ons de mogelijkheden te ordenen. Links staan alle mogelijke factoren van de c term, 6; rechts staan de sommen.

Factoren waarvan het product 6 is	Som van de factoren
1 – 6 = 6	1 + 6 = 7
2 – 3 = 6	2 + 3 = 5

Er zijn maar twee mogelijke factorcombinaties, 1 en 6, en 2 en 3. Je kunt zien dat 2 + 3 = 5. Dus 2x + 3x = 5x, waarmee we de juiste middelste term hebben.

Voorbeeld
Probleem	Factor x2 + 5x + 6.
	x2 + 2x + 3x + 6	Gebruik de waarden uit de grafiek hierboven. Vervang 5x door 2x + 3x.
	(x2 + 2x) + (3x + 6)	Groepeer de paren van termen.
	x(x + 2) + (3x + 6)	Factor x uit het eerste begrippenpaar.
	x(x + 2) + 3(x + 2)	Factor 3 uit het tweede begrippenpaar.
	(x + 2)(x + 3)	Factor uit (x + 2).
Antwoord	(x + 2)(x + 3)

Merk op dat als je x2 + 5x + 6 schreef als x2 + 3x + 2x + 6 en de paren groepeerde als (x2 + 3x) + (2x + 6); en vervolgens x(x + 3) + 2(x + 3) ontbindt in factoren, dan zou het antwoord (x + 3)(x + 2) zijn. Aangezien vermenigvuldiging commutatief is, doet de volgorde van de factoren er niet toe. Dit antwoord is dus ook juist; het zijn gelijkwaardige antwoorden.

Eindelijk bekijken we het trinomium x2 + x – 12. In deze trinomiaal is de c term -12. Kijk dus naar alle combinaties van factoren waarvan het product -12 is. Kijk dan welke van deze combinaties je de juiste middelste term geeft, waarbij b 1 is.

Factoren waarvan het product -12 is	Som van de factoren
1 -12 = -12	1 + -12 = -11
2 -6 = -12	2 + -6 = -4
3 -4 = -12	3 + -4 = -1
4 -3 = -12	4 + -3 = 1
6 – -2 = -12	6 + -2 = 4
12 – -1 = -12	12 + -1 = 11

Er is maar één combinatie waarbij het product -12 is en de som 1 is, en dat is als r = 4, en s = -3. Laten we deze gebruiken om ons oorspronkelijke trinomium te ontbinden in factoren.

Exemplaar
Probleem	Factor x2 + x – 12
	x2 + 4x + -3x – 12	Herschrijf het trinomium met de waarden uit de grafiek hierboven. Gebruik de waarden r = 4 en s = -3.
	(x2 + 4x) + (-3x – 12)	Groepeer paren van termen.
	x(x + 4) + (-3x – 12)	Factor x uit de eerste groep.
	x(x + 4) – 3(x + 4)	Factor -3 uit de tweede groep.
	(x + 4)(x – 3)	Factor uit (x + 4).
Antwoord	(x + 4)(x – 3)

In het bovenstaande voorbeeld, zou je x2 + x – 12 ook eerst kunnen herschrijven als x2 – 3x + 4x – 12. Dan factor x(x – 3) + 4(x – 3), en factor uit (x – 3) wordt (x – 3)(x + 4). Aangezien vermenigvuldiging commutatief is, is dit hetzelfde antwoord.

Tips voor het ontbinden in factoren

Het ontbinden in factoren van trinomialen is een kwestie van oefening en geduld. Soms komen de juiste getallencombinaties tevoorschijn en lijken ze zo voor de hand liggend! Andere keren, ondanks het proberen van vele mogelijkheden, zijn de juiste combinaties moeilijk te vinden. En soms kan het trinomium niet worden ontbonden.

Hoewel er geen waterdichte manier is om de juiste combinatie bij de eerste gok te vinden, zijn er wel enkele tips die de weg kunnen vergemakkelijken.

Tips voor het vinden van waarden die werken

Bij het ontbinden in factoren van een trinomiaal van de vorm x2 + bx + c moet je rekening houden met de volgende tips.

Bekijk eerst de c term.

o Als de c term een positief getal is, dan zullen de factoren van c beide positief of beide negatief zijn. Met andere woorden, r en s zullen hetzelfde teken hebben.

o Als de c term een negatief getal is, dan zal één factor van c positief zijn, en één factor van c zal negatief zijn. Of r of s zal negatief zijn, maar niet allebei.

Kijk als tweede naar de b term.

o Als de c term positief is en de b term positief, dan zijn zowel r als s positief.

o Als de c-term positief is en de b-term negatief, dan zijn zowel r als s negatief.

o Als de c-term negatief is en de b-term positief, dan zal de factor die positief is de grotere absolute waarde hebben. Dat wil zeggen, als |r| > |s|, dan is r positief en s negatief.

o Als de c term negatief is en de b term is negatief, dan zal de factor die negatief is de grotere absolute waarde hebben. Dat wil zeggen, als |r| > |s|, dan is r negatief en s is positief.

Als je een aantal trinomialen in de vorm x2 + bx + c hebt ontbonden, zul je merken dat de getallen die je voor r en s hebt geïdentificeerd uiteindelijk in de ontbonden vorm van het trinomiaal worden opgenomen. Bekijk de volgende grafiek, die een overzicht geeft van de drie problemen die je tot nu toe hebt gezien.

Trinomium	x2 + 7x + 10	x2 + 5x + 6	x2 + x – 12
r en s waarden	r = + 5, s = + 2	r = + 2, s = + 3	r = + 4, s = -3
Gefactoriseerde vorm	(x + 5)(x + 2)	(x + 2)(x + 3)	(x + 4)(x – 3)

Merk op dat in elk van deze voorbeelden, de r- en s-waarden herhaald worden in de gefactoriseerde vorm van het trinomium.

Dus wat betekent dit? Het betekent dat je bij trinomialen van de vorm x2 + bx + c (waarbij de coëfficiënt voor x2 1 is), als je de juiste r- en s-waarden kunt bepalen, de groeperingsstappen kunt overslaan en direct naar de ontbonden vorm kunt gaan. Misschien wil je het bij de groeperingsmethode houden totdat je het ontbinden in factoren onder de knie hebt, maar dit is een handige snelkoppeling om te weten!

Jess probeert de groeperingsmethode te gebruiken om het trinomium v2 – 10v + 21 te ontbinden in factoren. Hoe moet ze de middelste term van b, -10v, herschrijven?

A) +7v + 3v

B) -7v – 3v

C) -7v + 3v

D) +7v – 3v

Het antwoord tonen/verbergen

Het identificeren van gemeenschappelijke factoren

Niet alle trinomialen zien eruit als x2 + 5x + 6, waarbij de coëfficiënt voor de term x2 1 is. In dat geval moet je eerst op zoek gaan naar gemeenschappelijke factoren voor de drie termen.

Trinomiaal	Factor uit Gemeenschappelijke Factor	Factored
2×2 + 10x + 12	2(x2 + 5x + 6)	2(x + 2)(x + 3)
-5a2 – 15a – 10	-5(a2 + 3a + 2)	-5(a + 2)(a + 1)
c3 – 8c2 + 15c	c(c2 – 8c + 15)	c(c – 5)(c – 3)
y4 – 9y3 – 10y2	y2(y2 – 9y – 10)	y2(y – 10)(y + 1)

Merk op dat zodra je de gemeenschappelijke factor hebt geïdentificeerd en eruit hebt gehaald, je de resterende trinomiaal kunt ontbinden in factoren zoals gewoonlijk. Dit proces wordt hieronder getoond.

Exemplaar
Probleem	Factor 3×3 – 3×2 – 90x.
	3(x3 – x2 – 30x)	Omdat 3 een gemeenschappelijke factor is voor de drie termen, ontbindt u de factor 3.
	3x(x2 – x – 30)	x is ook een gemeenschappelijke factor, dus factor x uit.
	3x(x2 – 6x + 5x – 30)	Nu kun je het trinomium ontbinden in factoren x2 – x – 30. Om r en s te vinden, zoek je twee getallen waarvan het product -30 is en de som -1. Het paar factoren is -6 en 5. Vervang dus -x door -6x + 5x.
	3x	Gebruik groepering om de termen in paren te beschouwen.
	3x	Factor x uit de eerste groep en factor 5 uit de tweede groep.
	3x(x – 6)(x + 5)	Dan factor uit x – 6.
Antwoord	3x(x – 6)(x + 5)

Factoren van trinomialen: ax2 + bx + c

De algemene vorm van trinomialen met een hoofdcoëfficiënt van a is ax2 + bx + c. Soms kan de factor van a in factoren worden ontbonden zoals je hierboven hebt gezien; dit gebeurt als a uit alle drie termen kan worden ontbonden. De resterende trinomiaal die nog ontbonden moet worden, is dan eenvoudiger, met als eerste term alleen een x2 term, in plaats van een ax2 term.

Als de coëfficiënten van alle drie termen van een trinomiaal echter geen gemeenschappelijke factor hebben, moet je het trinomiaal ontbinden in factoren met een coëfficiënt anders dan 1.

Trinomialen ontbinden in factoren van de vorm ax2 + bx + c

Om een trinomiaal van de vorm ax2 + bx + c te ontbinden in factoren, zoek je twee gehele getallen, r en s, waarvan de som b is en waarvan het product ac is. Herschrijf de trinomiaal als ax2 + rx + sx + c en gebruik dan groepering en de distributieve eigenschap om de veelterm te ontbinden in factoren.

Dit is bijna hetzelfde als ontbinden in factoren van trinomialen in de vorm x2 + bx + c, want in deze vorm is a = 1. Nu zoek je twee factoren waarvan het product a – c is, en waarvan de som b is.

Laten we eens zien hoe deze strategie werkt door 6z2 + 11z + 4 te ontbinden in factoren.

In deze trinomiaal is a = 6, b = 11, en c = 4. Volgens de strategie moet je twee factoren vinden, r en s, waarvan de som b (11) is en waarvan het product ac (of 6 – 4 = 24) is. Je kunt een grafiek maken om de mogelijke factorcombinaties te ordenen. (Merk op dat deze grafiek alleen positieve getallen heeft. Omdat ac positief is en b is positief, kun je er zeker van zijn dat de twee factoren die je zoekt ook positieve getallen zijn.)

Factoren waarvan het product 24	Som van de factoren
1 – 24 = 24	1 + 24 = 25
2 – 12 = 24	2 + 12 = 14
3 – 8 = 24	3 + 8 = 11
4 – 6 = 24	4 + 6 = 10

Er is maar één combinatie waarbij het product 24 is en de som 11, en dat is als r = 3, en s = 8. Laten we deze waarden gebruiken om het oorspronkelijke trinomium te ontbinden in factoren.

Exemplaar
Probleem	Factor 6z2 + 11z + 4.
	6z2 + 3z + 8z + 4	Herschrijf de middelste term, 11z, als 3z + 8z (uit de grafiek hierboven.)
	(6z2 + 3z) + (8z + 4)	Groepsparen. Gebruik groeperen om de termen in paren te beschouwen.
	3z(2z + 1) + 4(2z + 1)	Factor 3z uit de eerste groep en 4 uit de tweede groep.
	(2z + 1)(3z + 4)	Factor uit (2z + 1).
Antwoord	(2z + 1)(3z + 4)

Voordat we verder gaan, is het de moeite waard te vermelden dat niet alle trinomialen kunnen worden ontbonden met behulp van gehele getallen. Neem bijvoorbeeld het trinomium 2z2 + 35z + 7. Kun je twee gehele getallen bedenken waarvan de som b (35) is en het product ac (2 – 7 = 14)? Er zijn er geen! Dit type trinomiaal, dat niet in factoren kan worden ontbonden met gehele getallen, heet een priemtrinomiaal.

Factor 3×2 + x – 2.

A) (3x + 2)(x – 1)

B) (3x – 2)(x + 1)

C) (3x + 1)(x – 2)

D) (3x – 1)(x + 2)

Het antwoord tonen/verbergen

Negatieve termen

In sommige situaties, is a negatief, zoals in -4h2 + 11h + 3. Het is vaak zinvol om -1 eruit te ontbinden als eerste stap in ontbinden in factoren, omdat het teken van ax2 dan verandert van negatief in positief, waardoor de resterende trinomiaal makkelijker te ontbinden is.

Exemplaar

Probleem

Factor -4h2 + 11h + 3

-1(4h2 – 11h – 3)

Factor -1 uit het trinomium. Merk op dat de tekens van alle drie termen zijn veranderd.

-1(4h2 – 12h + 1h – 3)

Om de trinomiaal te ontbinden in factoren, moet je uitzoeken hoe je -11h herschrijft. Het product van rs = 4 – -3 = -12, en de som van

rs = -11.

r – s = -12	r + s = -11
-12 – 1 = -12	-12 + 1 = -11
-6 – 2 = -12	-6 + 2 = -4
-4 – 3 = -12	-4 + 3 = -1

Herschrijf de middelste term -11h als -12h + 1h.

-1

Groep termen.

-1

Factor 4h uit het eerste paar uit. De tweede groep kan niet verder worden ontbonden, maar je kunt het schrijven als +1(h – 3) omdat +1(h – 3) = (h – 3). Dit helpt bij het ontbinden in factoren in de volgende stap.

-1

Factor uit een gemeenschappelijke factor van (h – 3). Merk op dat je (h – 3)(4h + 1) overhoudt; de +1 komt van de term +1(h – 3) in de vorige stap.

Antwoord

-1(h – 3)(4h + 1)

Merk op dat het antwoord hierboven ook geschreven kan worden als (-h + 3)(4h + 1) of (h – 3)( -4h – 1) als je -1 vermenigvuldigt met een van de andere factoren.

Samenvatting

Trinomialen van de vorm x2 + bx + c kun je ontbinden door twee gehele getallen, r en s, te vinden waarvan de som b is en het product c is. Herschrijf de trinomiaal als x2 + rx + sx + c en gebruik dan groepering en de distributieve eigenschap om de veelterm te ontbinden in factoren.

Wanneer een trinomiaal de vorm ax2 + bx + c heeft, waarbij a een coëfficiënt anders dan 1 is, zoek dan eerst naar gemeenschappelijke factoren voor alle drie termen. Factoriseer eerst de gemeenschappelijke factor en daarna het overblijvende eenvoudiger trinomium. Als de overgebleven trinomiaal nog steeds van de vorm ax2 + bx + c is, zoek dan twee gehele getallen, r en s, waarvan de som b is en waarvan het product ac is. Herschrijf dan de trinomiaal als ax2 + rx + sx + c en gebruik groepering en de distributieve eigenschap om de veelterm te ontbinden in factoren.

Geef een reactie Antwoord annuleren