Prima di discutere delle permutazioni daremo uno sguardo al significato delle parole combinazione e permutazione. Un’insalata Waldorf è un mix di sedano rapa, noci e lattuga. Non importa in quale ordine aggiungiamo i nostri ingredienti ma se abbiamo una combinazione per il nostro lucchetto che è 4-5-6 allora l’ordine è estremamente importante.
Se l’ordine non ha importanza allora abbiamo una combinazione, se l’ordine ha importanza allora abbiamo una permutazione. Si potrebbe dire che una permutazione è una combinazione ordinata.
Il numero di permutazioni di n oggetti presi r alla volta è determinato dalla seguente formula:
$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
Esempio
Un codice ha 4 cifre in un ordine specifico, le cifre sono tra 0-9. Quante permutazioni diverse ci sono se una cifra può essere usata solo una volta?
Un codice di quattro cifre potrebbe essere qualsiasi cosa tra 0000 e 9999, quindi ci sono 10.000 combinazioni se ogni cifra potesse essere usata più di una volta, ma poiché nella domanda ci viene detto che una cifra può essere usata solo una volta, questo limita il nostro numero di combinazioni. Per determinare il numero corretto di permutazioni dobbiamo semplicemente inserire i nostri valori nella nostra formula:
$P(n,r)=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5040$
Nel nostro esempio l’ordine delle cifre è importante, se l’ordine non contasse avremmo quella che è la definizione di una combinazione. Il numero di combinazioni di n oggetti presi r alla volta è determinato dalla seguente formula:
$C(n,r)=frac{n!}{(n-r)!r!}$
Lezione video
Quattro amici si siederanno attorno ad un tavolo con 6 sedie. In quanti modi potrebbero sedersi gli amici?