Matematica | Media, varianza e deviazione standard

La media è la media di un dato insieme di dati. Consideriamo il seguente esempio

$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$

Questi otto punti dati hanno la media di 5:

$\frac{2 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Formula : \mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

dove μ è la media e x1, x2, x3…., xi sono elementi.Si noti inoltre che la media è talvolta indicata da $\bar{x}$

La varianza è la somma dei quadrati delle differenze tra tutti i numeri e le medie. Per prima cosa, calcolate le deviazioni di ogni punto di dati dalla media, ed elevate al quadrato il risultato di ciascuna:

$\begin{array}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 (7-5)^2 = 2^2 = 4 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 (9-5)^2 = 4^2 = 16. \end{array}$

varianza = $\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8}$ = 4.

$Formula: \sigma^{2}= \frac { \sum_{i=1}^{N} (x_{i}-\mu)^{2}{N}$

Dove μ è la media, N è il numero totale di elementi o la frequenza della distribuzione.

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. È una misura della misura in cui i dati variano dalla media.

Deviazione standard (per i dati di cui sopra) = $\sqrt{ 4 }$ = 2

Perché i matematici hanno scelto un quadrato e poi la radice quadrata per trovare la deviazione, perché non prendere semplicemente la differenza dei valori?
Una ragione è che la somma delle differenze diventa 0 secondo la definizione di media. La somma delle differenze assolute potrebbe essere un’opzione, ma con le differenze assolute era difficile dimostrare molti bei teoremi.

$\textup{Coefficiente di variazione } =\frac{ \textup{Deviazione standard}}{Media}*100$

Il valore della deviazione standard è 0 se tutte le voci dell’input sono uguali.
Se aggiungiamo (o sottraiamo) un numero, diciamo 7, a tutti i valori dell’input set, la media aumenta (o diminuisce) di 7, ma la deviazione standard non cambia.
Se moltiplichiamo tutti i valori dell’insieme di input per un numero 7, sia la media che la deviazione standard sono moltiplicate per 7. Ma se moltiplichiamo tutti i valori di input con un numero negativo, per esempio -7, la media è moltiplicata per -7, ma la deviazione standard è moltiplicata per 7.
La deviazione standard e la varianza sono una misura che dice quanto sono diffusi i numeri. Mentre la varianza dà un’idea approssimativa della diffusione, la deviazione standard è più concreta, e dà le distanze esatte dalla media.
Media, mediana e modalità sono la misura della tendenza centrale dei dati (sia raggruppati che non).

Le domande che seguono sono state poste negli esami GATE degli anni precedenti
http://quiz.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2012-question-64/

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