TroposphereEdit
Per calcolare la densità dell’aria in funzione dell’altitudine, sono necessari ulteriori parametri. Per la troposfera, la parte più bassa dell’atmosfera, sono elencati di seguito, insieme ai loro valori secondo l’Atmosfera Standard Internazionale, utilizzando per il calcolo la costante universale dei gas invece della costante specifica dell’aria:
p 0 = {\displaystyle p_{0}=}
pressione atmosferica standard a livello del mare, 101325 Pa T 0 = {displaystyle T_{0}=}
temperatura standard al livello del mare, 288,15 K g = {\displaystyle g=}
accelerazione gravitazionale della superficie terrestre, 9,80665 m/s2 L = {\displaystyle L=}
tasso di ricaduta della temperatura, 0,0065 K/m R = {\displaystyle R=}
costante ideale (universale) dei gas, 8,31446 J/(mol-K) M = {\displaystyle M=}
massa molare dell’aria secca, 0,0289652 kg/mol
Temperatura all’altitudine h {displaystyle h}
metri sopra il livello del mare è approssimata dalla seguente formula (valida solo all’interno della troposfera, non più di ~18 km sopra la superficie terrestre (e più in basso lontano dall’Equatore): T = T 0 – L h {displaystyle T=T_{0}-Lh\,}
La pressione alla quota h {displaystyle h}
è data da: p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {\displaystyle p=p_{0}} a sinistra(1-{frac {Lh}{T_{0}}} a destra)^{gM/RL}}
La densità può quindi essere calcolata secondo una forma molare della legge dei gas ideali:
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {\displaystyle \rho ={frac {pM}{RT}},={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,
dove:
M = {\displaystyle M=}
massa molare R = {\displaystyle R=}
costante dei gas ideali T = {\displaystyle T=}
temperatura assoluta p = {\displaystyle p=}
pressione assoluta
Nota che la densità vicino al suolo è ρ 0 = p 0 M R T 0 {\displaystyle \rho _{0}={frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
Si può facilmente verificare che l’equazione idrostatica vale:
d p d h = – g ρ {displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-g\rho }
.
Approssimazione esponenzialeModifica
Poiché la temperatura varia con l’altezza all’interno della troposfera di meno del 25%, L h T 0 < 0.25 {displaystyle {\frac {Lh}{T_{0}}}< 0.25}
e si può approssimare: ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {displaystyle \rho =\rho _{0}e^{({\frac {gM}{RL}}-1)\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})}approx \rho _{0}e^{-({\frac {gM}{RL}-1){\frac {Lh}{T_{0}}}}=\rho _{0}e^{-({\frac {gMh}{RT_{0}}-{frac {Lh}{T_{0}})}}
Quindi:
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {displaystyle \rho \approx \rho _{0}e^{-h/H_{n}}}
Che è identica alla soluzione isoterma, tranne che Hn, la scala di altezza della caduta esponenziale per la densità (così come per la densità numerica n), non è uguale a RT0/g M come ci si aspetterebbe per un’atmosfera isoterma, ma piuttosto:
1 H n = g M R T 0 – L T 0 {\displaystyle {\frac {1}{H_{n}}}={\frac {gM}{RT_{0}}-{\frac {L}{T_{0}}}}
Che dà Hn = 10,4 km.
Nota che per i diversi gas, il valore di Hn differisce, secondo la massa molare M: è 10,9 per l’azoto, 9,2 per l’ossigeno e 6,3 per l’anidride carbonica. Il valore teorico per il vapore acqueo è 19,6, ma a causa della condensazione del vapore la dipendenza dalla densità del vapore acqueo è molto variabile e non è ben approssimata da questa formula.
La pressione può essere approssimata da un altro esponente:
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 {displaystyle p=p_{0}e^{({\frac {gM}{RL}})\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}}})}approx p_{0}e^{-{frac {gM}{RL}}{frac {Lh}{T_{0}}}}=p_{0}e^{-{frac {gMh}{RT_{0}}}}}
Che è identica alla soluzione isotermica, con la stessa scala di altezza Hp = RT0/gM. Si noti che l’equazione idrostatica non è più valida per l’approssimazione esponenziale (a meno che L sia trascurato).
Hp è 8,4 km, ma per i diversi gas (misurando la loro pressione parziale), è di nuovo diverso e dipende dalla massa molare, dando 8,7 per l’azoto, 7,6 per l’ossigeno e 5,6 per l’anidride carbonica.
Contenuto totaleModifica
Nota inoltre che poiché g, l’accelerazione gravitazionale terrestre, è approssimativamente costante con l’altitudine nell’atmosfera, la pressione all’altezza h è proporzionale all’integrale della densità nella colonna sopra h, e quindi alla massa nell’atmosfera sopra l’altezza h.Quindi la frazione di massa della troposfera su tutta l’atmosfera è data usando la formula approssimata per p:
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ) g M / R L = 76 % {displaystyle 1-{frac {p(h=11km)}{p_{0}}}=1-\frac({\frac {T(11km)}{T_{0}}} a destra)^{gM/RL}=76\%}
Per l’azoto, è 75%, mentre per l’ossigeno è 79%, e per l’anidride carbonica – 88%.
TropopauseEdit
Al di sopra della troposfera, alla tropopausa, la temperatura è approssimativamente costante con l’altitudine (fino a ~20 km) ed è 220 K. Ciò significa che in questo strato L = 0 e T= 220K, così che la caduta esponenziale è più veloce, con HTP = 6,3 km per l’aria (6,5 per l’azoto, 5,7 per l’ossigeno e 4,2 per l’anidride carbonica). Sia la pressione che la densità obbediscono a questa legge, quindi, denotando l’altezza del confine tra la troposfera e la tropopausa come U:
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle p=p(U)\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {displaystyle \rho =\rho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
