i) Si sospetta che un tipo di dati, tipicamente modellati da una distribuzione di Weibull, possa essere adattato adeguatamente da un modello esponenziale.La distribuzione esponenziale è un caso speciale della Weibull, con il parametro di forma \(\gamma\)fissato a 1. Se scriviamo la funzione di verosimiglianza di Weibull per i dati, la funzione di verosimiglianza del modello esponenziale si ottiene impostando \(\gamma\)a 1, e il numero di parametri sconosciuti è stato ridotto da due a uno.
ii) Supponiamo di avere \(n)celle di dati da un test di accelerazione, con ogni cella che ha una diversa temperatura operativa. Supponiamo che in ogni cella si applichi un modello di popolazione lognormale. Senza l’assunzione di un modello di accelerazione, la verosimiglianza dei dati sperimentali sarebbe il prodotto delle verosimiglianze di ogni cella e ci sarebbero \(2n\)parametri sconosciuti (un diverso \(T_{50})e \(\sigma\)per ogni cella). Se assumiamo che si applichi un modello di Arrhenius, il numero totale di parametri scende da \(2n)a soli 3, il singolo comune \(\sigma\)e i parametri Arrhenius \(A\) e \(\Delta H\). Questa assunzione di accelerazione “salva” i parametri \((2n-3)\).
iii) Testiamo a vita campioni di prodotto da due fornitori. Si sa che il prodotto ha un meccanismo di fallimento modellato dalla distribuzione di Weibull, e vogliamo sapere se c’è una differenza di affidabilità tra i fornitori. La probabilità illimitata dei dati è il prodotto delle due probabilità, con 4 parametri sconosciuti (la forma e la vita caratteristica per ogni popolazione di fornitori). Se, tuttavia, non assumiamo alcuna differenza tra i venditori, la probabilità si riduce ad avere solo due parametri sconosciuti (la forma comune e la vita caratteristica comune). Due parametri vengono “persi” dall’assunzione di “nessuna differenza”.
Chiaramente, potremmo trovare molti altri esempi come questi tre, per i quali un’assunzione importante può essere riaffermata come una riduzione o restrizione del numero di parametri usati per formulare la funzione di verosimiglianza dei dati. In tutti questi casi, c’è un modo semplice e molto utile per verificare se l’ipotesi è coerente con i dati.
La procedura del test del rapporto di verosimiglianza