Avant de parler des permutations, nous allons voir ce que signifient les mots combinaison et permutation. Une salade Waldorf est un mélange composé entre autres de céleri-rave, de noix et de laitue. L’ordre dans lequel nous ajoutons nos ingrédients n’a pas d’importance mais si nous avons une combinaison pour notre cadenas qui est 4-5-6 alors l’ordre est extrêmement important.
Si l’ordre n’a pas d’importance alors nous avons une combinaison, si l’ordre a de l’importance alors nous avons une permutation. On pourrait dire qu’une permutation est une combinaison ordonnée.
Le nombre de permutations de n objets pris r à la fois est déterminé par la formule suivante :
$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
Exemple
Un code ont 4 chiffres dans un ordre spécifique, les chiffres sont compris entre 0-9. Combien de permutations différentes y a-t-il si un chiffre ne peut être utilisé qu’une fois ?
Un code à quatre chiffres peut être compris entre 0000 et 9999, il y a donc 10 000 combinaisons si chaque chiffre peut être utilisé plusieurs fois mais comme on nous dit dans la question qu’un chiffre ne peut être utilisé qu’une fois, cela limite notre nombre de combinaisons. Afin de déterminer le nombre correct de permutations, il suffit de brancher nos valeurs dans notre formule :
$P(n,r)=\frac{10!}{(10-4) !}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5040$
Dans notre exemple l’ordre des chiffres était important, si l’ordre n’avait pas d’importance nous aurions ce qui est la définition d’une combinaison. Le nombre de combinaisons de n objets pris r à la fois est déterminé par la formule suivante :
$C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$
Leçon vidéo
Quatre amis vont s’asseoir autour d’une table avec 6 chaises. De combien de façons les amis pourraient-ils s’asseoir ?
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