Facturation de trinômes

Facturation de trinômes

Objectif(s) d’apprentissage)

– Facturer des trinômes dont le coefficient directeur est 1.

– Factoriser des trinômes avec un facteur commun.

– Factoriser des trinômes avec un coefficient principal autre que 1.

Un polynôme à trois termes est appelé un trinôme. Les trinômes ont souvent (mais pas toujours !) la forme x2 + bx + c. À première vue, il peut sembler difficile de factoriser des trinômes, mais vous pouvez tirer parti de certains modèles mathématiques intéressants pour factoriser même les trinômes d’apparence la plus difficile.

Alors, comment passer de 6×2 + 2x – 20 à (2x + 4)(3x -5) ? Voyons cela.

Les trinômes de la forme x2 + bx + c peuvent souvent être factorisés comme le produit de deux binômes. Rappelez-vous qu’un binôme est simplement un polynôme à deux termes. Commençons par examiner ce qui se passe lorsque deux binômes, tels que (x + 2) et (x + 5), sont multipliés.

La factorisation est l’inverse de la multiplication. Faisons donc l’inverse et factorisons le trinôme x2 + 7x + 10. Les termes individuels x2, 7x et 10 ne partagent aucun facteur commun. Regardez donc la réécriture de x2 + 7x + 10 comme x2 + 5x + 2x + 10.

Et, vous pouvez regrouper les paires de facteurs : (x2 + 5x) + (2x + 10)

Facteurisez chaque paire : x(x + 5) + 2(x + 5)

Puis factorisez le facteur commun x + 5 : (x + 5)(x + 2)

Voici le même problème fait sous forme d’exemple :

Comment savoir comment réécrire le moyen terme ? Malheureusement, vous ne pouvez pas le réécrire n’importe comment. Si vous réécrivez 7x comme 6x + x, cette méthode ne fonctionnera pas. Heureusement, il existe une règle pour cela.

Facturation des trinômes de la forme x2 + bx + c

Pour factoriser un trinôme de la forme x2 + bx + c, trouvez deux entiers, r et s, dont le produit est c et la somme est b.

Réécrivez le trinôme sous la forme x2 + rx + sx + c, puis utilisez le groupement et la propriété distributive pour factoriser le polynôme. Les facteurs résultants seront (x + r) et (x + s).

Par exemple, pour factoriser x2 + 7x +10, vous cherchez deux nombres dont la somme est 7 (le coefficient du terme du milieu) et dont le produit est 10 (le dernier terme).

Regardez les paires de facteurs de 10 : 1 et 10, 2 et 5. L’une ou l’autre de ces paires a-t-elle une somme égale à 7 ? Oui, 2 et 5. Vous pouvez donc réécrire 7x comme 2x + 5x, et continuer à factoriser comme dans l’exemple ci-dessus. Notez que vous pouvez également réécrire 7x comme 5x + 2x. Les deux fonctionneront.

Facturons le trinôme x2 + 5x + 6. Dans ce polynôme, la partie b du terme du milieu est 5 et le terme c est 6. Un tableau nous aidera à organiser les possibilités. A gauche, listez tous les facteurs possibles du terme c, 6 ; à droite, vous trouverez les sommes.

Il n’existe que deux combinaisons de facteurs possibles, 1 et 6, et 2 et 3. Vous pouvez voir que 2 + 3 = 5. Donc 2x + 3x = 5x, ce qui nous donne le bon moyen terme.

Notez que si vous avez écrit x2 + 5x + 6 comme x2 + 3x + 2x + 6 et regroupé les paires comme (x2 + 3x) + (2x + 6) ; et que vous avez ensuite factorisé x(x + 3) + 2(x + 3), puis éliminé x + 3, la réponse serait (x + 3)(x + 2). Comme la multiplication est commutative, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance. Cette réponse est donc correcte également ; ce sont des réponses équivalentes.

Enfin, regardons le trinôme x2 + x – 12. Dans ce trinôme, le terme c est -12. Regardez donc toutes les combinaisons de facteurs dont le produit est -12. Puis voyez laquelle de ces combinaisons vous donnera le terme moyen correct, où b est 1.

Il n’existe qu’une seule combinaison où le produit est -12 et la somme est 1, et c’est quand r = 4, et s = -3. Utilisons-les pour factoriser notre trinôme d’origine.

La factorisation des trinômes est une question de pratique et de patience. Parfois, les combinaisons de nombres appropriées surgissent tout simplement et semblent si évidentes ! D’autres fois, malgré l’essai de nombreuses possibilités, les bonnes combinaisons sont difficiles à trouver. Et, il y a des fois où le trinôme ne peut pas être factorisé.

Bien qu’il n’y ait pas de moyen infaillible de trouver la bonne combinaison du premier coup, il y a quelques astuces qui peuvent faciliter le chemin.

Des conseils pour trouver des valeurs qui fonctionnent

Lors de la factorisation d’un trinôme de la forme x2 + bx + c, tenez compte des conseils suivants.

Regardez d’abord le terme c.

o Si le terme c est un nombre positif, alors les facteurs de c seront tous deux positifs ou tous deux négatifs. En d’autres termes, r et s auront le même signe.

o Si le terme c est un nombre négatif, alors un facteur de c sera positif, et un facteur de c sera négatif. Soit r, soit s sera négatif, mais pas les deux.

Regardez ensuite le terme b.

o Si le terme c est positif et le terme b est positif, alors r et s sont tous deux positifs.

o Si le terme c est positif et le terme b est négatif, alors r et s sont tous deux négatifs.

o Si le terme c est négatif et le terme b est positif, alors le facteur qui est positif aura la plus grande valeur absolue. C’est-à-dire que si |r| > |s|, alors r est positif et s est négatif.

o Si le terme c est négatif et le terme b est négatif, alors le facteur qui est négatif aura la plus grande valeur absolue. Autrement dit, si |r| > |s|, alors r est négatif et s est positif.

Après avoir factorisé un certain nombre de trinômes de la forme x2 + bx + c, vous pouvez remarquer que les nombres que vous identifiez pour r et s finissent par être inclus dans la forme factorisée du trinôme. Jetez un coup d’œil au tableau suivant, qui passe en revue les trois problèmes que vous avez vus jusqu’à présent.

Notez que dans chacun de ces exemples, les valeurs r et s sont répétées dans la forme factorisée du trinôme.

Alors, qu’est-ce que cela signifie ? Cela signifie que dans les trinômes de la forme x2 + bx + c (où le coefficient devant x2 est 1), si vous pouvez identifier les valeurs r et s correctes, vous pouvez effectivement sauter les étapes de regroupement et passer directement à la forme factorisée. Vous voudrez peut-être vous en tenir à la méthode de groupement jusqu’à ce que vous soyez à l’aise avec la factorisation, mais c’est un raccourci soigné à connaître !

Jess essaie d’utiliser la méthode de groupement pour factoriser le trinôme v2 – 10v + 21. Comment doit-elle réécrire le terme central b, -10v ?

A) +7v + 3v

B) -7v – 3v

C) -7v + 3v

D) +7v – 3v

Tous les trinômes ne ressemblent pas à x2 + 5x + 6, où le coefficient devant le terme x2 est 1. Dans ces cas, votre première étape doit consister à rechercher des facteurs communs aux trois termes.

Notez qu’une fois que vous avez identifié et extrait le facteur commun, vous pouvez factoriser le trinôme restant comme d’habitude. Ce processus est illustré ci-dessous.

La forme générale des trinômes dont le coefficient principal est a est ax2 + bx + c. Parfois, le facteur de a peut être factorisé comme vous l’avez vu ci-dessus ; cela se produit lorsque a peut être factorisé hors des trois termes. Le trinôme restant qui doit encore être factorisé sera alors plus simple, le terme de tête étant seulement un terme x2, au lieu d’un terme ax2.

Cependant, si les coefficients des trois termes d’un trinôme n’ont pas de facteur commun, alors vous devrez factoriser le trinôme avec un coefficient autre que 1.

Facturation des trinômes de la forme ax2 + bx + c

Pour factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, trouvez deux entiers, r et s, dont la somme est b et dont le produit est ac. Réécrivez le trinôme sous la forme ax2 + rx + sx + c, puis utilisez le groupement et la propriété distributive pour factoriser le polynôme.

C’est presque la même chose que de factoriser des trinômes de la forme x2 + bx + c, car sous cette forme a = 1. Vous recherchez maintenant deux facteurs dont le produit est a – c, et dont la somme est b.

Voyons comment cette stratégie fonctionne en factorisant 6z2 + 11z + 4.

Dans ce trinôme, a = 6, b = 11, et c = 4. Selon la stratégie, vous devez trouver deux facteurs, r et s, dont la somme est b (11) et dont le produit est ac (ou 6 – 4 = 24). Vous pouvez faire un tableau pour organiser les combinaisons de facteurs possibles. (Remarquez que ce tableau ne comporte que des nombres positifs. Puisque ac est positif et b est positif, vous pouvez être certain que les deux facteurs que vous recherchez sont également des nombres positifs.)

Il n’y a qu’une seule combinaison où le produit est 24 et la somme est 11, et c’est quand r = 3, et s = 8. Utilisons ces valeurs pour factoriser le trinôme d’origine.

Avant d’aller plus loin, il est utile de mentionner que tous les trinômes ne peuvent pas être factorisés en utilisant des paires d’entiers. Prenez le trinôme 2z2 + 35z + 7, par exemple. Pouvez-vous penser à deux entiers dont la somme est b (35) et le produit est ac (2 – 7 = 14) ? Il n’y en a pas ! Ce type de trinôme, qui ne peut être factorisé à l’aide d’entiers, est appelé trinôme premier.

Factoriser 3×2 + x – 2.

A) (3x + 2)(x – 1)

B) (3x – 2)(x + 1)

C) (3x + 1)(x – 2)

D) (3x – 1)(x + 2)

Dans certaines situations, a est négatif, comme dans -4h2 + 11h + 3. Il est souvent judicieux de factoriser -1 comme première étape de la factorisation, car ce faisant, le signe de ax2 passe de négatif à positif, ce qui rend le trinôme restant plus facile à factoriser.

Notez que la réponse ci-dessus peut aussi s’écrire (-h + 3)(4h + 1) ou (h – 3)( -4h – 1) si vous multipliez -1 par un des autres facteurs.

Les trinômes de la forme x2 + bx + c peuvent être factorisés en trouvant deux entiers, r et s, dont la somme est b et dont le produit est c. Réécrivez le trinôme sous la forme x2 + rx + sx + c, puis utilisez le regroupement et la propriété distributive pour factoriser le polynôme.

Lorsqu’un trinôme est sous la forme ax2 + bx + c, où a est un coefficient autre que 1, cherchez d’abord les facteurs communs pour les trois termes. Mettez d’abord en facteur le facteur commun, puis mettez en facteur le trinôme plus simple restant. Si le trinôme restant est toujours de la forme ax2 + bx + c, trouvez deux entiers, r et s, dont la somme est b et dont le produit est ac. Réécrivez ensuite le trinôme sous la forme ax2 + rx + sx + c et utilisez le groupement et la propriété distributive pour factoriser le polynôme.