TroposphèreEdit
Pour calculer la densité de l’air en fonction de l’altitude, on a besoin de paramètres supplémentaires. Pour la troposphère, la partie la plus basse de l’atmosphère, ils sont énumérés ci-dessous, ainsi que leurs valeurs selon l’atmosphère type internationale, en utilisant pour le calcul la constante universelle des gaz au lieu de la constante spécifique de l’air:
p 0 = {\displaystyle p_{0}=}
pression atmosphérique standard au niveau de la mer, 101325 Pa T 0 = {\displaystyle T_{0}=}
température standard au niveau de la mer, 288,15 K g = {\displaystyle g=}
accélération gravitationnelle de la surface terrestre, 9,80665 m/s2 L = {\displaystyle L=}
taux de variation de la température, 0,0065 K/m R = {\displaystyle R=}
constante des gaz idéale (universelle), 8,31446 J/(mol-K) M = {\displaystyle M=}
masse molaire de l’air sec, 0.0289652 kg/mol
Température à l’altitude h {\displaystyle h}
mètres au-dessus du niveau de la mer est approximée par la formule suivante (uniquement valable à l’intérieur de la troposphère, pas plus de ~18 km au-dessus de la surface de la Terre (et plus bas loin de l’équateur)) : T = T 0 – L h {\displaystyle T=T_{0}-Lh\,}
La pression à l’altitude h {\displaystyle h}.
est donnée par : p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}\right)^{gM/RL}}
La densité peut alors être calculée selon une forme molaire de la loi des gaz idéaux :
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {\displaystyle \rho ={\frac {pM}{RT}}\,={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,}
où :
M = {\displaystyle M=}
masse molaire R = {\displaystyle R=}
constante des gaz idéale T = {\displaystyle T=}
température absolue p = {\displaystyle p=}
pression absolue
Notez que la densité près du sol est ρ 0 = p 0 M R T 0 {\displaystyle \rho _{0}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
On peut facilement vérifier que l’équation hydrostatique est vérifiée:
d p d h = – g ρ {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-g\rho}
.
Approximation exponentielleEdit
Comme la température varie avec la hauteur à l’intérieur de la troposphère de moins de 25%, L h T 0 < 0,25 {\displaystyle {\frac {Lh}{T_{0}}}<0,25}.
et on peut faire une approximation de : ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{({\frac {gM}{RL}}-1)\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})}\approx \rho _{0}e^{-({\frac {gM}{RL}}-1){\frac {Lh}{T_{0}}}}=\rho _{0}e^{-({\frac {gMh}{RT_{0}}-{\frac {Lh}{T_{0}})}}
Donc :
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {\displaystyle \rho \approx \rho _{0}e^{-h/H_{n}}}
Ce qui est identique à la solution isotherme, sauf que Hn, l’échelle de hauteur de la chute exponentielle pour la densité (ainsi que pour la densité numérique n), n’est pas égale à RT0/g M comme on pourrait s’y attendre pour une atmosphère isotherme, mais plutôt :
1 H n = g M R T 0 – L T 0 {\displaystyle {\frac {1}{H_{n}}}={\frac {gM}{RT_{0}}}-{\frac {L}{T_{0}}}}}.
Ce qui donne Hn = 10,4 km.
Notez que pour différents gaz, la valeur de Hn diffère, en fonction de la masse molaire M : elle est de 10,9 pour l’azote, de 9,2 pour l’oxygène et de 6,3 pour le dioxyde de carbone. La valeur théorique pour la vapeur d’eau est de 19,6, mais en raison de la condensation de la vapeur, la dépendance de la densité de la vapeur d’eau est très variable et n’est pas bien approchée par cette formule.
La pression peut être approximée par un autre exposant :
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 {\displaystyle p=p_{0}e^{({\frac {gM}{RL}})\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})}\approx p_{0}e^{-{\frac {gM}{RL}}{\frac {Lh}{T_{0}}}}=p_{0}e^{-{\frac {gMh}{RT_{0}}}}}
Ce qui est identique à la solution isotherme, avec la même échelle de hauteur Hp = RT0/gM. Notons que l’équation hydrostatique n’est plus valable pour l’approximation exponentielle (à moins de négliger L).
Hp est de 8,4 km, mais pour les différents gaz (mesure de leur pression partielle), elle est à nouveau différente et dépend de la masse molaire, donnant 8,7 pour l’azote, 7,6 pour l’oxygène et 5,6 pour le dioxyde de carbone.
Total contentEdit
Notez en outre que puisque g, l’accélération gravitationnelle de la Terre, est approximativement constante avec l’altitude dans l’atmosphère, la pression à la hauteur h est proportionnelle à l’intégrale de la densité dans la colonne au-dessus de h, et donc à la masse dans l’atmosphère au-dessus de la hauteur h.Par conséquent, la fraction massique de la troposphère sur l’ensemble de l’atmosphère est donnée à l’aide de la formule approximative de p :
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ). g M / R L = 76 % {\displaystyle 1-{\frac {p(h=11km)}{p_{0}}=1-\left({\frac {T(11km)}{T_{0}}\right)^{gM/RL}=76\%}
Pour l’azote, il est de 75 % , tandis que pour l’oxygène, il est de 79 % , et pour le dioxyde de carbone – 88 % .
TropopauseEdit
Plus haut que la troposphère, à la tropopause, la température est approximativement constante avec l’altitude (jusqu’à ~20 km) et est de 220 K. Cela signifie qu’à cette couche L = 0 et T= 220K, de sorte que la chute exponentielle est plus rapide, avec HTP = 6,3 km pour l’air (6,5 pour l’azote, 5,7 pour l’oxygène et 4,2 pour le dioxyde de carbone). Tant la pression que la densité obéissent à cette loi, ainsi, en désignant par U la hauteur de la frontière entre la troposphère et la tropopause :
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle p=p(U)\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle \rho =\rho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
