i) On soupçonne qu’un type de données, typiquement modélisé par une distribution de Weibull, peut être ajusté de manière adéquate par un modèle exponentiel.La distribution exponentielle est un cas particulier de Weibull, avec le paramètre de forme \(\gamma\)fixé à 1. Si nous écrivons la fonction de vraisemblance de Weibull pour les données, la fonction de vraisemblance du modèle exponentiel est obtenue en fixant \(\gamma\)à 1, et le nombre de paramètres inconnus a été réduit de deux à un.
ii) Supposons que nous ayons \(n\)cellules de données provenant d’un test d’accélération,avec chaque cellule ayant une température de fonctionnement différente. Nous supposons qu’un modèle de population lognormal s’applique dans chaque cellule. Sans l’hypothèse d’un modèle d’accélération, la vraisemblance des données expérimentales serait le produit des vraisemblances de chaque cellule et il y aurait \(2n\)paramètres inconnus (un \(T_{50}\) et un \(\sigma\) différents pour chaque cellule). Si nous supposons qu’un modèle d’Arrhenius s’applique, le nombre total de paramètres tombe de \(2n)à seulement 3, l’unique \(\sigma\)commun et les paramètres \(A\) et \(\Delta H\)d’Arrhenius. Cette hypothèse d’accélération » économise » les paramètres \((2n-3)\).
iii) Nous testons à vie des échantillons de produits provenant de deux fournisseurs. Le produit est connu pour avoir un mécanisme de défaillance modélisé par la distribution de Weibull, et nous voulons savoir s’il y a une différence de fiabilité entre les vendeurs. La vraisemblance non restreinte des données est le produit des deux vraisemblances, avec 4 paramètres inconnus (la forme et la durée caractéristique de chaque population de fournisseurs). Si, toutefois, nous supposons qu’il n’y a pas de différence entre les fournisseurs, la vraisemblance se réduit à deux paramètres inconnus (la forme commune et la durée de vie caractéristique commune). Deux paramètres sont « perdus » par l’hypothèse d' »aucune différence ».
Il est clair que nous pourrions trouver de nombreux autres exemples comme ces trois-là, pour lesquels une hypothèse importante peut être reformulée comme une réduction ou une restriction du nombre de paramètres utilisés pour formuler la fonction de vraisemblance des données. Dans tous ces cas, il existe un moyen simple et très utile de tester si l’hypothèse est cohérente avec les données.
La procédure de test du rapport de vraisemblance