Filtro de paso alto | Natuurondernemer

Para otro método de conversión de tiempo continuo a tiempo discreto, véase Transformación bilineal.

También se pueden diseñar filtros de paso alto de tiempo discreto. El diseño de filtros de tiempo discreto está más allá del alcance de este artículo; sin embargo, un ejemplo sencillo proviene de la conversión del filtro pasa-altas de tiempo continuo anterior a una realización de tiempo discreto. Es decir, se puede discretizar el comportamiento en tiempo continuo.

Del circuito de la figura 1 anterior, según las leyes de Kirchhoff y la definición de capacitancia:

{ V out ( t ) = I ( t ) R (V) Q c ( t ) = C ( V in ( t ) – V out ( t ) ) (Q) I ( t ) = d Q c d t (I) {\displaystyle {\begin{cases}V_{texto{salida}(t)=I(t)|,R&{texto{(V)}\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}} {{operador}} t}}&{texto{(I)}}end{casos}}

$\begin{cases}V_{\text{out}}(t) = I(t)\, R &\text{(V)}\\Q_c(t) = C \, \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{out}}(t) \right) &\text{(Q)}\\I(t) = \frac{\operatorname{d} Q_c}{\operatorname{d} t} &\text{(I)}\end{cases}$

donde Q c ( t ) {\displaystyle Q_{c}(t)}

$Q_c(t)$

es la carga almacenada en el condensador en el tiempo t {\displaystyle t}

$t$

. Sustituyendo la ecuación (Q) en la ecuación (I) y luego la ecuación (I) en la ecuación (V) se obtiene V out ( t ) = C ( d V in d t – d V out d t ) ⏞ I ( t ) R = R C ( d V in d t – d V out d t ) {\displaystyle V_{texto{out}(t)=\cubierta(C\,\left({\frac {\operatorname{d}) V_{{texto{in}} {{nombre del operador}} t}}-{{frac} {{nombre del operador}} {d} V_{texto{salida}} {{nombre del operador}} t}}right)} ^{I(t)}}, R=RC,\NIzquierda({{frac} {{nombre del operador}} {d} V_{texto{in}} {{nombre del operador}} t}}-{{frac} {{nombre del operador}}} V_{text{out}} {{operador}} t}}right)}

$V_{text{out}}(t) = \overbrace{C \}, \left( \frac{operador}{d} V_{{text{in}} {{nombre del operador}}t} - {{frac} {nombre del operador}}d} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t} \^^I(t)} \R = R C, izquierda (fracción del operador) V_{text{in}} {{nombre del operador{d}}t} - \frac {{nombre del operador{d}} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t} \right)$

Esta ecuación puede ser discretizada. Para simplificar, supongamos que las muestras de la entrada y la salida se toman en puntos espaciados uniformemente en el tiempo y separados por Δ T {{displaystyle \_Delta _{T}}.

$Delta_T$

tiempo. Dejemos que las muestras de V en {{displaystyle V_{text{in}}

$V_{texto{in}$

estén representadas por la secuencia ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}

$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

, y que V out {\displaystyle V_{\text{out}}

$V_{text{out}$

sea representado por la secuencia ( y 1 , y 2 , … , y n ) {\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}

$(y_1, y_2, \ldots, y_n)$

que corresponden a los mismos puntos en el tiempo. Haciendo estas sustituciones y i = R C ( x i – x i – 1 Δ T – y i – y i – 1 Δ T ) {\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}{{Delta _{T}}-{{frac {y_{i}-y_{i-1}{Delta _{T}}right)}

$y_i = R C \, \left( \frac{x_i - x_{i-1}{\Delta_T}} - \frac{y_i - y_{i-1}{{Delta_T}{Derecha)$

Y reordenando los términos se obtiene la relación de recurrencia

y i = R C R C + Δ T y i – 1 ⏞ Contribución decreciente de entradas anteriores + R C R C + Δ T ( x i – x i – 1 ) ⏞ Contribución del cambio en la entrada {\displaystyle y_{i}=\overbrace {{frac {RC}{RC+\Delta _{T}}y_{i-1}} ^{texto}{Contribución decreciente de las entradas anteriores}}+{sobrecogida} {{RC}{Delta _{T}} izquierda(x_{i}-x_{i-1} derecha)} ^{texto}{Contribución del cambio en la entrada}}

$y_i = \overbrace{frac{RC}{RC + \Delta_T} y_{i-1}^{texto{contribución por cambio de entrada}} + \\frac{RC}{RC + \Delta_T} |left( x_i - x_{i-1} \\right)}^{text}{Contribución por cambio de entrada}}$

Es decir, esta implementación en tiempo discreto de un simple filtro RC de paso alto en tiempo continuo es

y i = α y i – 1 + α ( x i – x i – 1 ) donde α ≜ R C R C + Δ T {\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {{texto}{donde} {qquad \alpha \triangularq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}

$y_i = y_{i-1} + x_{i-1} \qquad \text{where} \qquad \alpha \frac{RC}{RC + \Delta_T}$

Por definición, 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}

$0 \leq \alpha \leq 1$

. La expresión para el parámetro α {\displaystyle \alpha }

$alpha$

produce la constante de tiempo equivalente R C {\displaystyle RC}

$RC$

en términos del periodo de muestreo Δ T {\displaystyle \Delta _{T}}

$Delta_T$

y α {\displaystyle \alpha }

$\aalpha$

: R C = Δ T ( α 1 – α ) {\displaystyle RC=\aDelta _{T}\a la izquierda({\frac {\alpha }{1-\a la derecha)}

$RC = \Delta_T \left( \frac{alpha}{1 - \alpha} \right)$

Recordando que

f c = 1 2 π R C {\displaystyle f_{c}={frac {1}{2\pi RC}}

$f_{c}={frac {1}{2\pi RC}}$

entonces R C = 1 2 π f c {\displaystyle RC={frac {1}{2\pi f_{c}}}}

$RC={frac {1}{2\pi f_{c}}$

entonces α {\displaystyle \alpha }

$\Nalpha$

y f c {\displaystyle f_{c}}

$f_{c}$

están relacionados por: α = 1 2 π Δ T f c + 1 {\displaystyle \alpha ={frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

${alpha ={frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}$

f c = 1 – α 2 π α Δ T {{displaystyle f_{c}={frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}

$f_{c}={frac {1-\alpha }{2\pi \alpha _{T}}$

Si α = 0,5 {\displaystyle \alpha =0,5}

$alpha =0,5$

, entonces el R C {\displaystyle RC}

$RC$

constante de tiempo igual al periodo de muestreo. Si α ≪ 0,5 {\displaystyle \alpha \ll 0,5}

$alpha \ll 0.5$

, entonces R C {\displaystyle RC}

$RC$

es significativamente menor que el intervalo de muestreo, y R C ≈ α Δ T {\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T}}

$RC \approx \alpha \Delta_T$

Implementación algorítmicaEditar

La relación de recurrencia del filtro proporciona una forma de determinar las muestras de salida en términos de las muestras de entrada y la salida precedente. El siguiente algoritmo en pseudocódigo simulará el efecto de un filtro de paso alto en una serie de muestras digitales, asumiendo muestras igualmente espaciadas:

// Return RC high-pass filter output samples, given input samples,// time interval dt, and time constant RCfunction highpass(real x, real dt, real RC) var real y var real α := RC / (RC + dt) y := x for i from 2 to n y := α × y + α × (x − x) return y

El bucle que calcula cada una de las n

$n$

salidas puede ser refactorizado en el equivalente:

 for i from 2 to n y := α × (y + x − x)

Sin embargo, la forma anterior muestra cómo el parámetro α cambia el impacto de la salida anterior y y el cambio actual en la entrada (x – x). En particular,

Un α grande implica que la salida decaerá muy lentamente pero también estará fuertemente influenciada por incluso pequeños cambios en la entrada. Por la relación entre el parámetro α y la constante de tiempo R C {\displaystyle RC}
$RC$

anterior, un α grande corresponde a un R C grande.

$RC$

y, por tanto, a una frecuencia de esquina baja del filtro. Por lo tanto, este caso corresponde a un filtro de paso alto con una banda de parada muy estrecha. Como se excita con pequeños cambios y tiende a mantener sus valores de salida anteriores durante mucho tiempo, puede pasar frecuencias relativamente bajas. Sin embargo, una entrada constante (es decir, una entrada con (x – x)=0) siempre decaerá a cero, como se esperaría con un filtro de paso alto con un gran R C {\displaystyle RC}

$RC$

.
Un α pequeño implica que la salida decaerá rápidamente y requerirá grandes cambios en la entrada (es decir, (x – x) es grande) para hacer que la salida cambie mucho. Por la relación entre el parámetro α y la constante de tiempo R C
$RC$

anterior, un α pequeño corresponde a un R C {\displaystyle RC} pequeño

$RC$

y, por tanto, a una frecuencia de esquina alta del filtro. Por lo tanto, este caso corresponde a un filtro de paso alto con una banda de parada muy amplia. Debido a que requiere cambios grandes (es decir, rápidos) y tiende a olvidar rápidamente sus valores de salida anteriores, sólo puede pasar frecuencias relativamente altas, como se esperaría con un filtro de paso alto con un pequeño R C {\displaystyle RC}

$RC$

.

Implementación algorítmicaEditar

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