Factorización de trinomios

Objetivo(s)

– Factorizar trinomios con coeficiente principal 1.

– Factorizar trinomios con un factor común.

– Factorizar trinomios con un coeficiente principal distinto de 1.

Introducción

Un polinomio con tres términos se llama trinomio. Los trinomios a menudo (¡pero no siempre!) tienen la forma x2 + bx + c. A primera vista, puede parecer difícil factorizar trinomios, pero se pueden aprovechar algunos patrones matemáticos interesantes para factorizar incluso los trinomios de aspecto más difícil.

Entonces, ¿cómo se llega de 6×2 + 2x – 20 a (2x + 4)(3x -5)? Echemos un vistazo.

Factorización de trinomios: x2 + bx + c

Los trinomios de la forma x2 + bx + c a menudo se pueden factorizar como el producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Empecemos por repasar lo que ocurre cuando se multiplican dos binomios, como (x + 2) y (x + 5).

Ejemplo
Problema	Multiplica (x + 2)(x + 5).
	(x + 2)(x + 5) Utiliza el método FOIL para multiplicar binomios.
	x2 + 5x + 2x +10	Entonces combina los términos semejantes 2x y 5x.
Respuesta	x2 + 7x +10

La factorización es la operación inversa a la multiplicación. Así que vayamos a la inversa y factoricemos el trinomio x2 + 7x + 10. Los términos individuales x2, 7x y 10 no comparten factores comunes. Así que mira a reescribir x2 + 7x + 10 como x2 + 5x + 2x + 10.

Y, puedes agrupar pares de factores: (x2 + 5x) + (2x + 10)

Factoriza cada par: x(x + 5) + 2(x + 5)

Después, factoriza el factor común x + 5: (x + 5)(x + 2)

Aquí tienes el mismo problema hecho en forma de ejemplo:

Ejemplo
Problema	Factor x2 + 7x +10.
	x2 + 5x + 2x +10	Reescribe el término medio 7x como 5x + 2x.
	(x + 5) + 2(x + 5)	Agrupa los pares y saca el factor común x del primer par y el 2 del segundo.
	(x + 5)(x + 2)	Factoriza el factor común (x + 5).
Respuesta	(x + 5)(x + 2)

¿Cómo sabes reescribir el término medio? Por desgracia, no puedes reescribirlo de cualquier manera. Si reescribes 7x como 6x + x, este método no funcionará. Afortunadamente, hay una regla para eso.

Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c

Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuyo producto sea c y cuya suma sea b.

Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego utiliza la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio. Los factores resultantes serán (x + r) y (x + s).

Por ejemplo, para factorizar x2 + 7x +10, se buscan dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término medio) y cuyo producto sea 10 (el último término).

Busca pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. Alguno de estos pares tiene una suma de 7? Sí, 2 y 5. Así que puedes reescribir 7x como 2x + 5x, y seguir factorizando como en el ejemplo anterior. Ten en cuenta que también puedes reescribir 7x como 5x + 2x. Ambos funcionarán.

Factoricemos el trinomio x2 + 5x + 6. En este polinomio, la parte b del término medio es 5 y el término c es 6. Una tabla nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enumera todos los posibles factores del término c, 6; a la derecha encontrarás las sumas.

Factores cuyo producto es 6	Suma de los factores
1 – 6 = 6	1 + 6 = 7	2 – 3 = 6	2 + 3 = 5

Sólo hay dos combinaciones posibles de factores, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que 2 + 3 = 5. Así que 2x + 3x = 5x, lo que nos da el término medio correcto.

Ejemplo
Problema	Factor x2 + 5x + 6.
	x2 + 2x + 3x + 6	Usa los valores de la tabla anterior. Sustituye 5x por 2x + 3x.
	(x2 + 2x) + (3x + 6)	Agrupa los pares de términos.
	x(x + 2) + (3x + 6)	Factor x fuera del primer par de términos.
	x(x + 2) + 3(x + 2)	Factor 3 del segundo par de términos.
	iv id=»x + 2)(x + 3)	Factoriza (x + 2).
Responde	(x + 2)(x + 3)

Nota que si escribiste x2 + 5x + 6 como x2 + 3x + 2x + 6 y agrupaste los pares como (x2 + 3x) + (2x + 6); luego se factoriza, x(x + 3) + 2(x + 3), y se factoriza x + 3, la respuesta sería (x + 3)(x + 2). Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Así que esta respuesta también es correcta; son respuestas equivalentes.

Por último, echemos un vistazo al trinomio x2 + x – 12. En este trinomio, el término c es -12. Así que mira todas las combinaciones de factores cuyo producto es -12. Luego mira cuál de estas combinaciones te dará el término medio correcto, donde b es 1.

Factores cuyo producto es -12	Suma de los factores
1 – -12 = -12	1 + -12 = -11
2 – -6 = -12	2 + -6 = -4	3 -4 = -12	3 + -4 = -1
4 -3 = -12	4 + -3 = 1
6 – -2 = -12	6 + -2 = 4
12 – -1 = -12	12 + -1 = 11

Sólo hay una combinación en la que el producto es -12 y la suma es 1, y es cuando r = 4, y s = -3. Usemos esto para factorizar nuestro trinomio original.

Ejemplo
Problema	Factor x2 + x – 12
	x2 + 4x + -3x – 12	Reescribe el trinomio utilizando los valores de la tabla anterior. Utiliza los valores r = 4 y s = -3.
	(x2 + 4x) + (-3x – 12)	Agrupa los pares de términos.
		x(x + 4) + (-3x – 12)	Factor x fuera del primer grupo.
		x(x + 4) – 3(x + 4)	Factor -3 del segundo grupo.
		. (x + 4)(x – 3)	Factorizar (x + 4).
Respuesta	(x + 4)(x – 3)

En el ejemplo anterior, también podrías reescribir x2 + x – 12 como x2 – 3x + 4x – 12 primero. Luego factorizar x(x – 3) + 4(x – 3), y factorizar (x – 3) obteniendo (x – 3)(x + 4). Como la multiplicación es conmutativa, esta es la misma respuesta.

La factorización de trinomios es cuestión de práctica y paciencia. ¡A veces, las combinaciones de números apropiadas saldrán sin más y parecerán tan obvias! Otras veces, a pesar de probar muchas posibilidades, las combinaciones correctas son difíciles de encontrar. Y, hay veces que el trinomio no se puede factorizar.

Aunque no hay una manera infalible de encontrar la combinación correcta a la primera, hay algunos consejos que pueden facilitar el camino.

Consejos para encontrar los valores que funcionan

Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, considere los siguientes consejos.

Mire primero el término c.

o Si el término c es un número positivo, entonces los factores de c serán ambos positivos o ambos serán negativos. En otras palabras, r y s tendrán el mismo signo.

o Si el término c es un número negativo, entonces un factor de c será positivo, y un factor de c será negativo. O bien r o bien s serán negativos, pero no ambos.

Mira el término b en segundo lugar.

o Si el término c es positivo y el término b es positivo, entonces tanto r como s son positivos.

o Si el término c es positivo y el término b es negativo, entonces tanto r como s son negativos.

o Si el término c es negativo y el término b es positivo, entonces el factor que sea positivo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si |r| > |s|, entonces r es positivo y s es negativo.

o Si el término c es negativo y el término b es negativo, entonces el factor que es negativo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si |r| > |s|, entonces r es negativo y s es positivo.

Después de haber factorizado un número de trinomios de la forma x2 + bx + c, puedes notar que los números que identificas para r y s acaban siendo incluidos en la forma factorizada del trinomio. Echa un vistazo a la siguiente tabla, que repasa los tres problemas que has visto hasta ahora.

Trinomio	x2 + 7x + 10	x2 + 5x + 6	x2 + x – 12
Valores de r y s	r = + 5, s = + 2	r = + 2, s = + 3	r = + 4, s = -3
Forma factorizada	(x + 5)(x + 2)	(x + 2)(x + 3)	(x + 4)(x – 3)

Nota que en cada uno de estos ejemplos, los valores de r y s se repiten en la forma factorizada del trinomio.

¿Y qué significa esto? Significa que en los trinomios de la forma x2 + bx + c (donde el coeficiente delante de x2 es 1), si puede identificar los valores correctos de r y s, puede saltarse los pasos de agrupación e ir directamente a la forma factorizada. Es posible que quieras seguir con el método de agrupación hasta que te sientas cómodo con la factorización, pero este es un buen atajo que debes conocer

Jess está tratando de utilizar el método de agrupación para factorizar el trinomio v2 – 10v + 21. ¿Cómo debería reescribir el término central b, -10v?

A) +7v + 3v

B) -7v – 3v

C) -7v + 3v

D) +7v – 3v

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Identificando factores comunes

No todos los trinomios se parecen a x2 + 5x + 6, donde el coeficiente delante del término x2 es 1. En estos casos, tu primer paso debe ser buscar factores comunes para los tres términos.

Trinomio	Factor fuera Factor Común	Factorizado
2×2 + 10x + 12	2(x2 + 5x + 6)	2(x + 2)(x + 3)
-5a2 – 15a – 10	-5(a2 + 3a + 2)	-5(a + 2)(a + 1)
c3 – 8c2 + 15c	c(c2 – 8c + 15)	c(c – 5)(c – 3)	y4 – 9y3 – 10y2	y2(y2 – 9y – 10)	y2(y – 10)(y + 1)

Nota que una vez identificado y sacado el factor común, puede factorizar el trinomio restante como de costumbre. Este proceso se muestra a continuación.

Ejemplo
Problema	Factor 3×3 – 3×2 – 90x.
	3(x3 – x2 – 30x)	Dado que 3 es un factor común para los tres términos, factoriza el 3.
	3x(x2 – x – 30)	x también es un factor común, así que factoriza x.
	3x(x2 – 6x + 5x – 30)	Ahora puedes factorizar el trinomio x2 – x – 30. Para encontrar r y s, identifica dos números cuyo producto sea -30 y cuya suma sea -1. El par de factores es -6 y 5. Por tanto, sustituye -x por -6x + 5x.
		3x	Utiliza la agrupación para considerar los términos por parejas.
	3x	Factor x del primer grupo y factor 5 del segundo grupo.
	. 3x(x – 6)(x + 5)	Entonces factoriza x – 6.
Respuesta	3x(x – 6)(x + 5)

Factorización de trinomios: ax2 + bx + c

La forma general de los trinomios con un coeficiente inicial de a es ax2 + bx + c. A veces el factor de a puede ser factorizado como has visto anteriormente; esto ocurre cuando a puede ser factorizado de los tres términos. El trinomio restante que todavía necesita ser factorizado será entonces más simple, con el término principal siendo sólo un término x2, en lugar de un término ax2.

Sin embargo, si los coeficientes de los tres términos de un trinomio no tienen un factor común, entonces tendrá que factorizar el trinomio con un coeficiente distinto de 1.

Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c

Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, encuentre dos enteros, r y s, cuya suma es b y cuyo producto es ac. Reescribe el trinomio como ax2 + rx + sx + c y luego utiliza la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

Esto es casi lo mismo que factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, ya que en esta forma a = 1. Ahora se buscan dos factores cuyo producto sea a – c, y cuya suma sea b.

Veamos cómo funciona esta estrategia factorizando 6z2 + 11z + 4.

En este trinomio, a = 6, b = 11, y c = 4. Según la estrategia, necesitas encontrar dos factores, r y s, cuya suma sea b (11) y cuyo producto sea ac (o 6 – 4 = 24). Puedes hacer una tabla para organizar las posibles combinaciones de factores. (Observa que esta tabla sólo tiene números positivos. Como ac es positivo y b es positivo, puedes estar seguro de que los dos factores que buscas son también números positivos.)

Factores cuyo producto es 24	Suma de los factores
1 – 24 = 24	1 + 24 = 25
2 – 12 = 24	2 + 12 = 14
3 – 8 = 24	3 + 8 = 11
4 – 6 = 24	4 + 6 = 10

Sólo hay una combinación en la que el producto es 24 y la suma es 11, y es cuando r = 3, y s = 8. Usemos estos valores para factorizar el trinomio original.


Problema	Factor 6z2 + 11z + 4.
	6z2 + 3z + 8z + 4	Reescribe el término medio, 11z, como 3z + 8z (del gráfico anterior.)
		. (6z2 + 3z) + (8z + 4)	Grupar pares. Utiliza la agrupación para considerar los términos por pares.
		3z(2z + 1) + 4(2z + 1) Factor 3z del primer grupo y 4 del segundo.
		. (2z + 1)(3z + 4)	Factor fuera (2z + 1).
Respuesta	(2z + 1)(3z + 4)

Antes de continuar, vale la pena mencionar que no todos los trinomios pueden ser factorizados usando pares de enteros. Tomemos el trinomio 2z2 + 35z + 7, por ejemplo. ¿Se te ocurren dos enteros cuya suma sea b (35) y cuyo producto sea ac (2 – 7 = 14)? No hay ninguno. Este tipo de trinomio, que no se puede factorizar con enteros, se llama trinomio primo.

Factoriza 3×2 + x – 2.

A) (3x + 2)(x – 1)

B) (3x – 2)(x + 1)

C) (3x + 1)(x – 2)

D) (3x – 1)(x + 2)

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Términos negativos

En algunas situaciones, a es negativo, como en -4h2 + 11h + 3. A menudo tiene sentido factorizar -1 como primer paso en la factorización, ya que al hacerlo cambiará el signo de ax2 de negativo a positivo, haciendo que el trinomio restante sea más fácil de factorizar.

Ejemplo

Problema

Factor -4h2 + 11h + 3

-1(4h2 – 11h – 3)

Factor -1 del trinomio. Observa que los signos de los tres términos han cambiado.

-1(4h2 – 12h + 1h – 3)

Para factorizar el trinomio, tienes que averiguar cómo reescribir -11h. El producto de rs = 4 – -3 = -12, y la suma de

rs = -11.

r – s = -12	r + s = -11
-12 – 1 = -12	-12 + 1 = -11
-6 – 2 = -12	-6 + 2 = -4
-4 – 3 = -12	-4 + 3 = -1

Reescribe el término medio -11h como -12h + 1h.

-1

Agrupa los términos.

-1

Factoriza 4h del primer par. El segundo grupo no se puede factorizar más, pero puedes escribirlo como +1(h – 3) ya que +1(h – 3) = (h – 3). Esto ayuda a la factorización en el siguiente paso.

-1

Factoriza un factor común de (h – 3). Fíjate que te queda (h – 3)(4h + 1); el +1 viene del término +1(h – 3) del paso anterior.

Respuesta

-1(h – 3)(4h + 1)

Nota que la respuesta anterior también se puede escribir como (-h + 3)(4h + 1) o (h – 3)( -4h – 1) si multiplicas -1 por uno de los otros factores.

Resumen

Los trinomios de la forma x2 + bx + c se pueden factorizar encontrando dos enteros, r y s, cuya suma es b y cuyo producto es c. Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego utiliza la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

Cuando un trinomio tiene la forma ax2 + bx + c, donde a es un coeficiente distinto de 1, busca primero los factores comunes de los tres términos. Factoriza primero el factor común y luego el trinomio restante más sencillo. Si el trinomio restante sigue siendo de la forma ax2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuya suma sea b y cuyo producto sea ac. Entonces reescribe el trinomio como ax2 + rx + sx + c y utiliza la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

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