TroposferaEditar
Para calcular la densidad del aire en función de la altitud, se necesitan parámetros adicionales. Para la troposfera, la parte más baja de la atmósfera, se enumeran a continuación, junto con sus valores según el Estándar Internacional de la Atmósfera, utilizando para el cálculo la constante universal de los gases en lugar de la constante específica del aire:
p 0 = {\displaystyle p_{0}=}
presión atmosférica estándar a nivel del mar, 101325 Pa T 0 = {\displaystyle T_{0}=}
temperatura estándar a nivel del mar, 288,15 K g = {\displaystyle g=}
aceleración gravitatoria de la superficie terrestre, 9,80665 m/s2 L = {\displaystyle L=}
tasa de retardo de la temperatura, 0,0065 K/m R = {\displaystyle R=}
constante de gas ideal (universal), 8,31446 J/(mol-K) M = {\displaystyle M=}
masa molar del aire seco, 0,0289652 kg/mol
Temperatura a la altura h {\displaystyle h}
metros sobre el nivel del mar se aproxima mediante la siguiente fórmula (sólo válida dentro de la troposfera, a no más de ~18 km sobre la superficie de la Tierra (y más baja lejos del Ecuador): T = T 0 – L h {\displaystyle T=T_{0}-Lh\},}
La presión a la altura h {\displaystyle h}
está dada por: p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {\displaystyle p=p_{0}[1-{frac {Lh}{T_{0}}right)^{gM/RL}}
![{displaystyle p=p_{0}[1-{frac {Lh}{T_{0}}[right]^{gM/RL}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357bd911d73f622d4eed07c9ba62552de32e516a)
La densidad puede calcularse entonces según una forma molar de la ley de los gases ideales:
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {\displaystyle \rho ={frac {pM}{RT}},={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,
donde:
M = {\displaystyle M=}
constante de los gases ideales T = {\displaystyle T=}
temperatura absoluta p = {\displaystyle p=}
presión absoluta
Nótese que la densidad cerca del suelo es ρ 0 = p 0 M R T 0 {\displaystyle \rho _{0}={frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
Puede verificarse fácilmente que la ecuación hidrostática se cumple:
d p d h = – g ρ {\displaystyle {\frac {dp}{dh}=-g\rho }
.
Aproximación exponencialEditar
Como la temperatura varía con la altura dentro de la troposfera en menos de un 25%, L h T 0 < 0,25 {\displaystyle {\frac {Lh}{T_{0}}<0,25}.
y se puede aproximar: ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{({\frac {gM}{RL}}-1)\cdot ln(1-{frac {Lh}{T_{0}})}\cdot \rho _{0}e^}-({{frac {gM}{RL}}-1){{frac {Lh}{T_{0}}}}}}={{{frac {gMh}{RT_{0}}-{frac {Lh}{T_{0}})}}
Por lo tanto:
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {\displaystyle \rho \approx \rho _{0}e^{-h_{n}}
Lo cual es idéntico a la solución isotérmica, salvo que Hn, la escala de altura de la caída exponencial para la densidad (así como para la densidad numérica n), no es igual a RT0/g M como cabría esperar para una atmósfera isotérmica, sino que:
1 H n = g M R T 0 – L T 0 {\displaystyle {\frac {1}{H_{n}}={frac {gM}{RT_{0}}-{\frac {L}{T_{0}}}}
Lo que da Hn = 10,4 km.
Nótese que para los distintos gases, el valor de Hn difiere, según la masa molar M: es 10,9 para el nitrógeno, 9,2 para el oxígeno y 6,3 para el dióxido de carbono. El valor teórico para el vapor de agua es de 19,6, pero debido a la condensación del vapor la dependencia de la densidad del vapor de agua es muy variable y no está bien aproximada por esta fórmula.
La presión puede ser aproximada por otro exponente:
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 {\displaystyle p=p_{0}e^{ {\frac {gM}{RL})\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})}approx p_{0}e^{-{\frac {gM}{RL}}{\frac {Lh}{T_{0}}}}=p_{0}e^{-{\frac {gMh}{RT_{0}}}}}
Que es idéntica a la solución isotérmica con la misma escala de altura Hp = RT0/gM. Obsérvese que la ecuación hidrostática ya no es válida para la aproximación exponencial (a no ser que se desprecie L).
Hp es de 8,4 km, pero para diferentes gases (midiendo su presión parcial), vuelve a ser diferente y depende de la masa molar, dando 8,7 para el nitrógeno, 7,6 para el oxígeno y 5,6 para el dióxido de carbono.
Contenido totalEditar
Además, hay que tener en cuenta que como g, la aceleración gravitatoria de la Tierra, es aproximadamente constante con la altura en la atmósfera, la presión a la altura h es proporcional a la integral de la densidad en la columna por encima de h, y por tanto a la masa en la atmósfera por encima de la altura h.Por tanto, la fracción de masa de la troposfera sobre toda la atmósfera viene dada por la fórmula aproximada de p:
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ) g M / R L = 76 % {\displaystyle 1-{frac {p(h=11km)}{p_{0}}=1-\frac({\frac {T(11km)}{T_{0}}right)^{gM/RL}=76\%}
Para el nitrógeno, es del 75%, mientras que para el oxígeno es del 79%, y para el dióxido de carbono, del 88%.
TropopausaEditar
Más arriba de la troposfera, en la tropopausa, la temperatura es aproximadamente constante con la altitud (hasta ~20 km) y es de 220 K. Esto significa que en esta capa L = 0 y T= 220K, por lo que la caída exponencial es más rápida, con HTP = 6,3 km para el aire (6,5 para el nitrógeno, 5,7 para el oxígeno y 4,2 para el dióxido de carbono). Tanto la presión como la densidad obedecen a esta ley, por lo que, denotando la altura de la frontera entre la troposfera y la tropopausa como U:
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle p=p(U)\cdot e^-(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle \rho =\rho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
