4.2: Momento magnético y par

Momento dipolar magnético

Aquí introducimos un atajo para futuros cálculos de par. La cantidad \(yz\) es el área de la espira, \(A\). En futuras aplicaciones, podemos tener la corriente alimentada en el bucle por un solo cable, que se enrolla alrededor del perímetro varias veces. La fuerza ejercida en cada lado de la espira (y por tanto el par) se multiplicará entonces por el número de vueltas del cable, \(N\). El producto de \(N\), \(I\), y \(A\) se escribe como una sola cantidad \(\mu\), dando la magnitud del par para este caso la forma simple de \(\tau = \mu B\).

Si este bucle gira sobre su eje, entonces el brazo de momento se reduce. Por ejemplo, si la parte superior de la espira gira hacia atrás y la parte inferior gira hacia adelante en \(90^o\), entonces las fuerzas sobre esos segmentos serán directamente alejadas entre sí. Estas fuerzas actúan directamente a través del eje, por lo que el par que producen es cero. Sabemos que el par y el campo magnético son ambos vectores, y el par creado está relacionado con la orientación de la espira en el campo. Podemos dar cuenta de la orientación de la espira definiendo un momento dipolar magnético:

El vector \ (\overrightarrow A\) tiene una magnitud igual al área de la espira, y tiene una dirección que es perpendicular al plano de la espira, en la dirección definida como sigue: Curva los dedos de la mano derecha en una dirección que traza la dirección de la corriente alrededor de la espira, y el pulgar de esa mano señala la dirección del vector. Por ejemplo, la espira de la figura 4.2.1 tendría un momento magnético que apunta hacia fuera de la página.

Ahora se puede calcular el vector de par a partir del momento del dipolo magnético de la misma manera que se calculó el par ejercido sobre un dipolo eléctrico:

\NDipolo magnético

Podemos ver que esto funciona para el caso mostrado en la figura 4.2.1: El ángulo entre el momento del dipolo magnético (que apunta hacia fuera de la página) y el campo magnético es \(90^o\), por lo que el seno del ángulo entre estos vectores que aparece en el producto cruzado es 1, dando la respuesta que encontramos anteriormente. Cuando la espira gira alrededor del eje horizontal, el ángulo entre el momento del dipolo magnético y el campo cambia, reduciendo los brazos del momento de las fuerzas en un factor de \(\sin\theta\) – exactamente la cantidad contabilizada en el producto cruzado. Cuando la espira gira hasta el punto en que su plano es perpendicular al campo, el momento magnético y el campo son paralelos, lo que hace que el par sea nulo, como hemos visto anteriormente.

Aunque derivamos la fórmula para el momento dipolar magnético usando un rectángulo, resulta que mientras la espira esté en un plano, la fórmula funciona sin importar la forma que tenga. Como ejemplo ilustrativo, resolveremos el par en una espira circular. Este es un ejemplo más difícil que el del rectángulo, por razones que quedarán claras, pero demuestra herramientas importantes para integrar contribuciones infinitesimales y tratar con productos vectoriales.

Figura 4.2.2a – Par en un bucle circular cerrado de alambre en un campo magnético uniforme

De forma similar a lo que hicimos para integrar las distribuciones de carga para obtener los campos, comenzamos introduciendo un sistema de coordenadas (asegúrese de que es diestro, es decir, elija los ejes de forma que el campo sea el correcto.(es decir, elegir los ejes de manera que \ (\widehat i \times \widehat j = \widehat k\)), seleccione una pieza infinitesimal os el bucle, y describirlo en términos de las coordenadas, el etiquetado de las variables que necesitaremos saber en el camino.

Figura 4.2.2b – Par en un bucle circular cerrado de alambre en un campo magnético uniforme

Aquí hemos elegido colocar el bucle en el plano \(x\)-(y\), y el campo magnético apunta en la dirección \(+x\)-. Se ha seleccionado un trozo infinitesimal de cable en un ángulo \(\phi\) hacia arriba desde el eje \(+x\)

A continuación tenemos que expresar matemáticamente el vector \(\overrightarrow {dl}\). Su magnitud es la longitud de un segmento infinitesimal de arco, que es \(R\;d\phi\). La dirección es más complicada, pero ampliando la imagen y haciendo un poco de geometría, podemos determinar sus componentes:

Figura 4.2.3 – Escribiendo el vector del elemento actual

Poniéndolo todo junto en un único vector:

Ahora tenemos todo lo que necesitamos. Por muy complicada que sea la geometría con la fuerza y luego el par, no tenemos que hacer un seguimiento, lo único que necesitamos es hacer las matemáticas vectoriales correctamente. Por ejemplo, la fuerza sobre el elemento actual es:

\a veces\a la izquierda]

Recordando los productos cruzados de vectores unitarios de la Física 9A, enchufamos \a (\aquí i\a veces\aquí i = 0\) y \a (\aquí j\aquí i\a = -\aquí k\a), y la fuerza sobre este elemento se convierte en:

Para obtener el par, elegimos el origen como punto de referencia, y calculamos la contribución infinitesimal al par directamente. Introduciendo el vector de posición y haciendo la matemática vectorial se obtiene:

[

Todo lo que queda es sumar todas las contribuciones del par, lo que significa integrar sobre el ángulo \phi de \\phi(0\rightarrow 2\pi):

Ir^2B\left=I\left(\pi R^2\right)B\;\widehat j\]

Seguro, la magnitud del par resulta ser \(\mu\;B\), donde \mu=IA\). Y utilizando la regla de la mano derecha para obtener la dirección del momento magnético (fuera de la página) seguida de la dirección del par de la regla de la mano derecha aplicada a \(\overrightarrow\mu\times\overrightarrow B\), se confirma que la dirección también funciona.

Este problema parecía muy desalentador porque la dirección de \(\overrightarrow {dl}\) está cambiando en todas partes en el círculo, pero una vez que este vector se escribe en términos de \(\phi\) y los vectores unitarios, las matemáticas hacen el resto!