TroposphereEdit
Om de dichtheid van lucht als functie van de hoogte te berekenen, heeft men extra parameters nodig. Voor de troposfeer, het laagste deel van de atmosfeer, zijn deze hieronder opgesomd, samen met hun waarden volgens de Internationale Standaardatmosfeer, waarbij voor de berekening de universele gasconstante wordt gebruikt in plaats van de luchtspecifieke constante:
p 0 = {{0}=}
standaard atmosferische druk op zeeniveau, 101325 Pa T 0 = {\displaystyle T_{0}=}
standaardtemperatuur op zeeniveau, 288,15 K g = {\displaystyle g=}
zwaartekrachtsversnelling aan het aardoppervlak, 9,80665 m/s2 L = {\displaystyle L=}
verloopsnelheid van de temperatuur, 0,0065 K/m R = {\displaystyle R=}
ideale (universele) gasconstante, 8,31446 J/(mol-K) M = {{displaystyle M=}
molaire massa van droge lucht, 0,0289652 kg/mol
Temperatuur op hoogte h {{\displaystyle h}
meter boven zeeniveau wordt benaderd met de volgende formule (alleen geldig binnen de troposfeer, niet meer dan ~18 km boven het aardoppervlak (en lager weg van de evenaar)): T = T 0 – L h {Displaystyle T=T_{0}-Lh,}
De druk op hoogte h {Displaystyle h}
wordt gegeven door: p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {\displaystyle p=p_{0}}-links(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}-rechts)^{gM/RL}}
De dichtheid kan dan worden berekend volgens een molaire vorm van de ideale gaswet:
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {\displaystyle \rho ={\frac {pM}{RT}}={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,}
waar:
M = {Displaystyle M=}
molaire massa R = {\displaystyle R=}
ideale gasconstante T = {{displaystyle T=}
absolute temperatuur p = {{displaystyle p=}
absolute druk
Merk op dat de dichtheid dicht bij de grond ρ 0 = p 0 M R T 0 {\displaystyle \rho _{0}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
Het is gemakkelijk te controleren dat de hydrostatische vergelijking geldt:
d p d h = – g ρ {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-g\rho }
.
Exponentiële benaderingEdit
Als de temperatuur binnen de troposfeer met minder dan 25% met de hoogte varieert, is L h T 0 < 0,25 {{displaystyle {\frac {Lh}{T_{0}}}<0,25}
en men kan benaderen: ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {{\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{({{\frac {gM}{RL}}-1)\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})})\approx \rho _{0}e^{-({\frac {gM}{RL}}-1){\frac {Lh}{T_{0}}}}=\rho _{0}e^{-({\frac {gMh}{RT_{0}}-{\frac {Lh}{T_{0}})}}
Thus:
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {{0}e^{-h/H_{n}}}
Wat identiek is aan de isothermische oplossing, behalve dat Hn, de hoogteschaal van de exponentiële daling voor de dichtheid (en ook voor de getaldichtheid n), niet gelijk is aan RT0/g M zoals men zou verwachten voor een isothermische atmosfeer, maar eerder:
1 H n = g M R T 0 – L T 0 {\displaystyle {\frac {1}{H_{n}}}={\frac {gM}{RT_{0}}-{\frac {L}{T_{0}}}}
Wat Hn = 10,4 km oplevert.
Merk op dat voor verschillende gassen de waarde van Hn verschilt, afhankelijk van de molaire massa M: Hij is 10,9 voor stikstof, 9,2 voor zuurstof en 6,3 voor kooldioxide. De theoretische waarde voor waterdamp is 19,6, maar als gevolg van dampcondensatie is de dichtheidsafhankelijkheid van waterdamp zeer variabel en wordt deze niet goed benaderd met deze formule.
De druk kan worden benaderd met een andere exponent:
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 {\displaystyle p=p_{0}e^{({\frac {gM}{RL}})\cdot ln(1-{Lh}{T_{0}})}approx p_{0}e^{-{\frac {gM}{RL}}{Lh}{T_{0}}}}=p_{0}e^{-{\frac {gMh}{RT_{0}}}}}
Wat identiek is aan de isothermische oplossing, met dezelfde hoogteschaal Hp = RT0/gM. Merk op dat de hydrostatische vergelijking niet langer geldt voor de exponentiële benadering (tenzij L wordt verwaarloosd).
Hp is 8,4 km, maar voor verschillende gassen (waarbij hun partiële druk wordt gemeten) is deze weer anders en afhankelijk van de molaire massa, wat 8,7 oplevert voor stikstof, 7,6 voor zuurstof en 5,6 voor kooldioxide.
Totale inhoud
Daarnaast dient te worden opgemerkt dat, aangezien g, de zwaartekrachtsversnelling van de aarde, ongeveer constant is met de hoogte in de atmosfeer, de druk op hoogte h evenredig is met de integraal van de dichtheid in de kolom boven h, en dus met de massa in de atmosfeer boven hoogte h.Daarom wordt de massafractie van de troposfeer uit de gehele atmosfeer gegeven met behulp van de benaderde formule voor p:
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ) g M / R L = 76 % {\displaystyle 1-{\frac {p(h=11km)}{p_{0}}}=1-links({\frac {T(11km)}{T_{0}}}rechts)^{gM/RL}=76%}
Voor stikstof, is dit 75%, terwijl dit voor zuurstof 79% is, en voor kooldioxide – 88%.
TropopauseEdit
Hoger dan de troposfeer, in de tropopauze, is de temperatuur ongeveer constant met de hoogte (tot ~20 km) en bedraagt 220 K. Dit betekent dat in deze laag L = 0 en T= 220 K, zodat de exponentiële daling sneller verloopt, met HTP = 6,3 km voor lucht (6,5 voor stikstof, 5,7 voor zuurstof en 4,2 voor kooldioxide). Zowel de druk als de dichtheid gehoorzamen aan deze wet, dus, als we de hoogte van de grens tussen de troposfeer en de tropopauze aanduiden met U:
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P {{displaystyle p=p(U)\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {Displaystyle ρrho = ρrho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
