Bevor wir Permutationen besprechen, schauen wir uns an, was die Wörter Kombination und Permutation bedeuten. Ein Waldorfsalat ist eine Mischung aus u.a. Knollensellerie, Walnüssen und Salat. Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge wir unsere Zutaten hinzufügen, aber wenn wir eine Kombination haben, die 4-5-6 lautet, dann ist die Reihenfolge extrem wichtig.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, dann haben wir eine Kombination, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt, dann haben wir eine Permutation. Man könnte sagen, dass eine Permutation eine geordnete Kombination ist.
Die Anzahl der Permutationen von n Objekten mit r auf einmal wird durch die folgende Formel bestimmt:
$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
Beispiel
Ein Code hat 4 Ziffern in einer bestimmten Reihenfolge, die Ziffern liegen zwischen 0-9. Wie viele verschiedene Permutationen gibt es, wenn eine Ziffer nur einmal verwendet werden darf?
Ein vierstelliger Code könnte alles zwischen 0000 und 9999 sein, daher gibt es 10.000 Kombinationen, wenn jede Ziffer mehr als einmal verwendet werden könnte, aber da uns in der Frage gesagt wird, dass eine Ziffer nur einmal verwendet werden darf, schränkt dies die Anzahl der Kombinationen ein. Um die korrekte Anzahl der Permutationen zu ermitteln, setzen wir einfach unsere Werte in unsere Formel ein:
$P(n,r)=\frac{10!}{(10-4)!}=frac{10\cdot9\cdot8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5040$
In unserem Beispiel war die Reihenfolge der Ziffern wichtig, wenn die Reihenfolge keine Rolle gespielt hätte, hätten wir das, was die Definition einer Kombination ist. Die Anzahl der Kombinationen von n Objekten, die r auf einmal genommen werden, wird durch folgende Formel bestimmt:
$C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$
Videolektion
Vier Freunde wollen um einen Tisch mit 6 Stühlen sitzen. Auf wie viele Arten könnten die Freunde sitzen?