Faktorisieren eines Polynoms
Was passiert, wenn Sie aufgefordert werden, ein Polynom zu faktorisieren? Es ist eigentlich ganz ähnlich, wie wenn Sie Zahlen faktorisieren. Sie müssen Zahlen finden, die Sie aus den Polynomen gleichmäßig heraus dividieren können. Anders als bei der Arbeit mit einfachen Zahlen müssen Sie bei Polynomen Zahlen aus Termen heraus dividieren und nicht nur eine einzelne Zahl.
Faktoren von Polynomen finden
Wie finden Sie also die Faktoren eines Polynoms heraus? Sie müssen lernen, das zu erkennen, was aus jedem Term faktorisiert werden kann. Das ist der gemeinsame Faktor.
In der Vergangenheit mussten Sie, wenn Sie Ausdrücke vereinfachen sollten, Zahlen in Terme in Klammern aufteilen. Zum Beispiel in 4(x+2), würden Sie es als 4x+8 auswerten. Beim Ausklammern von Termen müssen Sie das Gegenteil davon tun! Abgesehen davon, dass Sie lernen, eine Menge von Polynomen zu betrachten und den Faktor zu identifizieren, können Sie auch die Methode anwenden, den größten gemeinsamen Faktor zu finden. Lassen Sie uns diesen ersten Schritt zur Faktorisierung von Polynomen lernen.
Was ist der größte gemeinsame Faktor
Um den größten gemeinsamen Faktor (GCF) zu finden, müssen Sie die Primfaktoren für jede der Zahlen finden, mit denen Sie arbeiten. Dann multiplizierst du die Faktoren, die alle Zahlen gemeinsam haben.
Wenn Sie also zum Beispiel die Zahlen 10 und 5 hätten und ihren gemeinsamen Faktor finden müssten, würden Sie zuerst die 10 und dann die 5 wie folgt angehen:
2)105\footnotesize2\frac{)10}{5}25)10
5)51\footnotesize5\frac{)5}{1}51)5
In beiden Fällen sehen Sie, dass Sie 5 haben. Da es nur einen gemeinsamen Faktor gibt, müssen Sie die 5 nicht mit etwas anderem multiplizieren. Sie haben also herausgefunden, dass 5 die größte Zahl ist, die sich gleichmäßig in 10 und 5 teilt. Wenn Sie keine gemeinsamen Faktoren finden, dann ist Ihr GCF 1.
Dies ist die Methode, die Sie anwenden werden, um die Faktoren von Polynomen zu finden. Folgen Sie uns bei der Lösung der folgenden Beispielfragen, um zu sehen, wie der GCF beim Faktorisieren von Ausdrücken verwendet wird.
Beispielaufgaben
Frage 1:
Faktorisieren Sie 12p7-18p2-3012p^{7} – 18p^{2} – 3012p7-18p2-30
Lösung:
Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor dieses Polynoms durch lange Division. Sie können jeden der Terme einzeln oder auch alle zusammen lösen, wie wir es hier getan haben:
Den GCF dieses Polynoms findet man, indem man die gemeinsamen Faktoren aus allen drei Zahlen miteinander multipliziert. Das bedeutet, man erhält:
(2)(3)=6
Wir ziehen dann von jedem Term des Polynoms 6 ab und erhalten die endgültige Antwort:
Frage 2:
Faktor 10z(x+2y)-6(x+2y)10z(x + 2y) – 6(x + 2y)10z(x+2y)-6(x+2y)
Lösung:
Zunächst wollen wir die gemeinsamen Faktoren des Polynoms suchen. Beim ersten Blick auf die Zahlen wird Ihnen wahrscheinlich auffallen, dass der gemeinsame Faktor von 10 und 6 2 ist.
Ein weiterer gemeinsamer Faktor ist (x+2y). Also faktorisieren wir beide und erhalten die endgültige Antwort:
Wenn Sie Ihre Antwort noch einmal überprüfen müssen, wenn Sie versuchen, die gemeinsamen Faktoren von Polynomen zu finden, probieren Sie diesen Online-GCF-Rechner aus. Er wird Ihnen helfen, sich Ihrer Antworten sicher zu sein, wenn Sie komplexere Polynome faktorisieren. Wie immer sollten Sie daran denken, dass der Rechner nur dazu verwendet werden sollte, Ihre Antworten zu überprüfen, anstatt die Fragen für Sie zu erledigen!
Bereit zum Weitermachen? Lernen Sie, wie man das Quadrat in quadratischen Funktionen vervollständigt, quadratische Funktionen von der allgemeinen in die Scheitelpunktform umwandelt und quadratische Gleichungen durch Faktorisierung oder durch Vervollständigung des Quadrats löst.