TroposphereEdit
Um die Dichte der Luft in Abhängigkeit von der Höhe zu berechnen, benötigt man zusätzliche Parameter. Für die Troposphäre, den untersten Teil der Atmosphäre, sind sie im Folgenden aufgeführt, zusammen mit ihren Werten nach der Internationalen Standardatmosphäre, wobei zur Berechnung die universelle Gaskonstante anstelle der spezifischen Luftkonstante verwendet wird:
p 0 = {\displaystyle p_{0}=}
Meereshöhe Standardatmosphärendruck, 101325 Pa T 0 = {\displaystyle T_{0}=}
Normaltemperatur auf Meereshöhe, 288,15 K g = {\displaystyle g=}
Erdoberflächen-Gravitationsbeschleunigung, 9,80665 m/s2 L = {\displaystyle L=}
Temperatursturzrate, 0,0065 K/m R = {\displaystyle R=}
ideale (universelle) Gaskonstante, 8,31446 J/(mol-K) M = {\displaystyle M=}
molare Masse der trockenen Luft, 0,0289652 kg/mol
Temperatur in der Höhe h {\displaystyle h}
Meter über dem Meeresspiegel wird durch die folgende Formel angenähert (nur gültig innerhalb der Troposphäre, nicht mehr als ~18 km über der Erdoberfläche (und niedriger weg vom Äquator)): T = T 0 – L h {\displaystyle T=T_{0}-Lh\,}
Der Druck in Höhe h {\displaystyle h}
ist gegeben durch: p = p 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L {\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}}
Die Dichte kann dann nach einer molaren Form des idealen Gasgesetzes berechnet werden:
ρ = p M R T = p M R T 0 ( 1 – L h / T 0 ) = p 0 M R T 0 ( 1 – L h T 0 ) g M / R L – 1 {\displaystyle \rho ={\frac {pM}{RT}}\,={\frac {pM}{RT_{0}(1-Lh/T_{0})}}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}\left(1-{\frac {Lh}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}\,}
wobei:
M = {\displaystyle M=}
Molare Masse R = {\displaystyle R=}
ideale Gaskonstante T = {\displaystyle T=}
absolute Temperatur p = {\displaystyle p=}
absoluter Druck
Beachten Sie, dass die Dichte in Bodennähe ρ 0 = p 0 M R T 0 {\displaystyle \rho _{0}={\frac {p_{0}M}{RT_{0}}}}
Es lässt sich leicht überprüfen, dass die hydrostatische Gleichung gilt:
d p d h = – g ρ {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-g\rho }
.
Exponentielle AnnäherungBearbeiten
Da die Temperatur mit der Höhe innerhalb der Troposphäre um weniger als 25 % variiert, beträgt L h T 0 < 0,25 {\displaystyle {\frac {Lh}{T_{0}}}<0,25}
und man kann approximieren: ρ = ρ 0 e ( g M R L – 1 ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ ρ 0 e – ( g M R L – 1 ) L h T 0 = ρ 0 e – ( g M h R T 0 – L h T 0 ) {\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{({\frac {gM}{RL}}-1)\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}}})}\approx \rho _{0}e^{-({\frac {gM}{RL}}-1){\frac {Lh}{T_{0}}}}=\rho _{0}e^{-({\frac {gMh}{RT_{0}}}-{\frac {Lh}{T_{0}})}}
Damit:
ρ ≈ ρ 0 e – h / H n {\displaystyle \rho \approx \rho _{0}e^{-h/H_{n}}}
Das ist identisch mit der isothermen Lösung, nur dass Hn, die Höhenskala des exponentiellen Falls für die Dichte (wie auch für die Anzahldichte n), nicht gleich RT0/g M ist, wie man es für eine isotherme Atmosphäre erwarten würde, sondern:
1 H n = g M R T 0 – L T 0 {\displaystyle {\frac {1}{H_{n}}}={\frac {gM}{RT_{0}}}-{\frac {L}{T_{0}}}}
Das ergibt Hn = 10,4 km.
Beachten Sie, dass der Wert von Hn für verschiedene Gase unterschiedlich ist, je nach der molaren Masse M: Er beträgt 10,9 für Stickstoff, 9,2 für Sauerstoff und 6,3 für Kohlendioxid. Der theoretische Wert für Wasserdampf beträgt 19,6, aber aufgrund der Dampfkondensation ist die Dichteabhängigkeit von Wasserdampf sehr variabel und wird durch diese Formel nicht gut angenähert.
Der Druck kann durch einen anderen Exponenten angenähert werden:
p = p 0 e ( g M R L ) ⋅ l n ( 1 – L h T 0 ) ≈ p 0 e – g M R L L h T 0 = p 0 e – g M h R T 0 {\displaystyle p=p_{0}e^{({\frac {gM}{RL}})\cdot ln(1-{\frac {Lh}{T_{0}})}\approx p_{0}e^{-{\frac {gM}{RL}}{\frac {Lh}{T_{0}}}}=p_{0}e^{-{\frac {gMh}{RT_{0}}}}}
Das ist identisch mit der isothermen Lösung, mit der gleichen Höhenskala Hp = RT0/gM. Beachten Sie, dass die hydrostatische Gleichung für die exponentielle Näherung nicht mehr gilt (es sei denn, L wird vernachlässigt).
Hp ist 8,4 km, aber für verschiedene Gase (die ihren Partialdruck messen) ist es wieder anders und hängt von der molaren Masse ab, was 8,7 für Stickstoff, 7,6 für Sauerstoff und 5,6 für Kohlendioxid ergibt.
GesamtinhaltBearbeiten
Weiterhin ist zu beachten, dass, da g, die Erdbeschleunigung, mit der Höhe in der Atmosphäre annähernd konstant ist, der Druck in der Höhe h proportional zum Integral der Dichte in der Säule über h ist, und damit zur Masse in der Atmosphäre über der Höhe h.Der Massenanteil der Troposphäre an der gesamten Atmosphäre ergibt sich daher aus der Näherungsformel für p:
1 – p ( h = 11 k m ) p 0 = 1 – ( T ( 11 k m ) T 0 ) g M / R L = 76 % {\displaystyle 1-{\frac {p(h=11km)}{p_{0}}}=1-\left({\frac {T(11km)}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}=76\%}
Für Stickstoff, beträgt er 75 %, während er für Sauerstoff 79 % und für Kohlendioxid – 88 % beträgt.
TropopauseEdit
Höher als die Troposphäre, an der Tropopause, ist die Temperatur annähernd konstant mit der Höhe (bis ~20 km) und beträgt 220 K. Das bedeutet, dass in dieser Schicht L = 0 und T= 220K, so dass der exponentielle Abfall schneller ist, mit HTP = 6,3 km für Luft (6,5 für Stickstoff, 5,7 für Sauerstoff und 4,2 für Kohlendioxid). Sowohl der Druck als auch die Dichte gehorchen diesem Gesetz, so dass wir die Höhe der Grenze zwischen Troposphäre und Tropopause als U bezeichnen:
p = p ( U ) ⋅ e – ( h – U ) / H T P = p 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L ⋅ e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle p=p(U)\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}=p_{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL}\cdot e^{-(h-U)/H_{TP}}}
ρ = ρ ( U ) e – ( h – U ) / H T P = ρ 0 ( 1 – L U T 0 ) g M / R L – 1 e – ( h – U ) / H T P {\displaystyle \rho =\rho (U)e^{-(h-U)/H_{TP}}=\rho _{0}\left(1-{\frac {LU}{T_{0}}}\right)^{gM/RL-1}e^{-(h-U)/H_{TP}}}
