i) Es wird vermutet, dass eine Art von Daten, die typischerweise durch eine Weibull-Verteilung modelliert wird, adäquat durch ein Exponentialmodell angepasst werden kann.Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall der Weibull-Verteilung, wobei der Form-Parameter \(\gamma\) auf 1 gesetzt ist. Wenn wir die Weibull-Likelihood-Funktion für die Daten schreiben, erhält man die Likelihood-Funktion des Exponentialmodells, indem man \(\gamma\) auf 1 setzt, und die Anzahl der unbekannten Parameter wurde von zwei auf einen reduziert.
ii) Angenommen, wir haben \(n\)Zellen von Daten aus einem Beschleunigungstest, wobei jede Zelle eine andere Betriebstemperatur hat. Wir nehmen an, dass in jeder Zelle ein Lognormalpopulationsmodell gilt. Ohne die Annahme eines Beschleunigungsmodells wäre die Wahrscheinlichkeit der experimentellen Daten das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aus jeder Zelle und es gäbe \(2n\)unbekannte Parameter (ein unterschiedliches \(T_{50}\) und \(\Sigma\) für jede Zelle). Wenn wir annehmen, dass einArrhenius-Modell gilt, sinkt die Gesamtzahl der Parameter von \(2n\)auf nur 3, das einzelne gemeinsame \(\sigma\)und die Arrhenius-Parameter \(A\) und \(\Delta H\). Diese Beschleunigungsannahme „spart“ \((2n-3)\)Parameter.
iii) Wir testen Lebensproben eines Produkts von zwei Herstellern. Es ist bekannt, dass das Produkt einen Ausfallmechanismus hat, der durch die Weibull-Verteilung modelliert wird, und wir wollen wissen, ob es einen Unterschied in der Zuverlässigkeit zwischen den Anbietern gibt. Die unbeschränkte Wahrscheinlichkeit der Daten ist das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten, mit 4 unbekannten Parametern (die Form und die charakteristische Lebensdauer für jede Herstellerpopulation). Wenn wir jedoch annehmen, dass es keinen Unterschied zwischen den Herstellern gibt, reduziert sich die Wahrscheinlichkeit auf nur zwei unbekannte Parameter (die gemeinsame Form und die gemeinsame charakteristische Lebensdauer). Durch die Annahme „kein Unterschied“ gehen zwei Parameter „verloren“.
Natürlich könnten wir uns noch viele weitere Beispiele wie diese drei ausdenken, für die eine wichtige Annahme als eine Reduzierung oder Einschränkung der Anzahl der Parameter, die zur Formulierung der Likelihood-Funktion der Daten verwendet werden, wiedergegeben werden kann. In all diesen Fällen gibt es eine einfache und sehr nützliche Methode, um zu testen, ob die Annahme mit den Daten konsistent ist.
Das Likelihood-Ratio-Testverfahren