Magnetisches Dipolmoment
Hier führen wir eine Abkürzung für zukünftige Drehmomentberechnungen ein. Die Größe \(yz\) ist die Fläche der Schleife, \(A\). In zukünftigen Anwendungen können wir den Strom durch einen einzelnen Draht in die Schleife einspeisen lassen, der mehrmals um den Umfang gewickelt wird. Die Kraft, die auf jede Seite der Schleife ausgeübt wird (und damit das Drehmoment), wird dann mit der Anzahl der Windungen im Draht, \(N\), multipliziert. Das Produkt aus \(N\), \(I\) und \(A\) wird als eine einzige Größe \(\mu\) geschrieben, wodurch die Größe des Drehmoments für diesen Fall die einfache Form von \(\tau = \mu B\) erhält.
Wenn sich diese Schleife um ihre Achse dreht, dann schrumpft der Momentarm. Wenn sich zum Beispiel der obere Teil der Schleife um \(90^o\) nach hinten und der untere Teil nach vorne dreht, dann sind die Kräfte auf diese Segmente direkt voneinander weg. Diese Kräfte wirken direkt durch die Achse, so dass das Drehmoment, das sie erzeugen, gleich Null ist. Wir wissen, dass Drehmoment und Magnetfeld beide Vektoren sind, und das erzeugte Drehmoment hängt mit der Orientierung der Schleife im Feld zusammen. Wir können die Orientierung der Schleife berücksichtigen, indem wir ein magnetisches Dipolmoment definieren:
Der Vektor \(\overrightarrow A\) hat einen Betrag, der gleich der Fläche der Schleife ist, und hat eine Richtung, die senkrecht zur Ebene der Schleife ist, in der Richtung, die wie folgt definiert ist: Krümmen Sie die Finger der rechten Hand in einer Richtung, die die Stromrichtung um die Schleife nachzeichnet, und der Daumen dieser Hand zeigt die Richtung des Vektors an. Zum Beispiel hätte die Schleife in Abbildung 4.2.1 ein magnetisches Moment, das aus der Seite heraus zeigt.
Der Drehmomentvektor kann nun aus dem magnetischen Dipolmoment auf die gleiche Weise berechnet werden, wie das auf einen elektrischen Dipol ausgeübte Drehmoment berechnet wurde:
Wir sehen, dass dies für den in Abbildung 4.2.1 gezeigten Fall funktioniert: Der Winkel zwischen dem magnetischen Dipolmoment (das aus der Seite heraus zeigt) und dem Magnetfeld ist \(90^o\), also ist der Sinus des Winkels zwischen diesen Vektoren, der im Kreuzprodukt erscheint, 1, was die Antwort ergibt, die wir oben gefunden haben. Wenn sich die Schleife um die horizontale Achse dreht, ändert sich der Winkel zwischen dem magnetischen Dipolmoment und dem Feld, wodurch die Momentenarme der Kräfte um den Faktor \(\sin\theta\) reduziert werden – genau der Betrag, der im Kreuzprodukt berücksichtigt wird. Wenn sich die Schleife zu dem Punkt dreht, an dem ihre Ebene senkrecht zum Feld steht, sind das magnetische Moment und das Feld parallel, so dass das Drehmoment null ist, wie wir oben festgestellt haben.
Beispiel \(\PageIndex{1}\)
Ein \(2.00\;A\) Strom fließt durch einen kreisförmigen Leiter, der einen Radius von \(12.0\;cm\) hat und in der \(x\)-\(y\)-Ebene liegt. Von der +\(z\)-Achse aus betrachtet, fließt der Strom im Uhrzeigersinn. Diese Schleife befindet sich in der Gegenwart eines gleichmäßigen Magnetfeldes, das durch gegeben ist:
Bestimmen Sie das Drehmoment (Vektor), das auf den Leiter ausgeübt wird.
Lösung
Um den Drehmomentvektor zu bestimmen, benötigen wir zunächst das magnetische Moment. Das berechnen wir (mit RHR für die Richtung):
Nun setzen wir einfach in die Formel für das Drehmoment ein:
Zeit links = -\left(0.
Obwohl wir die Formel für das magnetische Dipolmoment anhand eines Rechtecks hergeleitet haben, stellt sich heraus, dass die Formel unabhängig von der Form der Schleife funktioniert, solange diese in einer Ebene liegt. Als anschauliches Beispiel werden wir das Drehmoment an einer kreisförmigen Schleife lösen. Dies ist ein schwierigeres Beispiel als das Rechteck, aus Gründen, die klar werden, aber es demonstriert wichtige Werkzeuge für die Integration von infinitesimalen Beiträgen und den Umgang mit Vektorprodukten.
Abbildung 4.2.2a – Drehmoment an einer geschlossenen kreisförmigen Drahtschleife in einem gleichförmigen Magnetfeld
Gleich wie bei der Integration von Ladungsverteilungen, um Felder zu erhalten, beginnen wir mit der Einführung eines Koordinatensystems (stellen Sie sicher, dass es rechtshändig ist, d. h. wählen Sie die Achsen so, dass died. h. wählen Sie die Achsen so, dass \(\widehat i \mal \widehat j = \widehat k\)), wählen Sie ein infinitesimales Stück der Schleife aus und beschreiben Sie es in Form der Koordinaten, wobei Sie alle Variablen beschriften, die wir unterwegs kennen müssen.
Abbildung 4.2.2b – Drehmoment an einer geschlossenen kreisförmigen Drahtschleife in einem gleichmäßigen Magnetfeld
Hier haben wir uns entschieden, die Schleife in der \(x\)-\(y\)-Ebene anzuordnen, und das Magnetfeld zeigt in die \(+x\)-Richtung. Eine infinitesimale Scheibe des Drahtes wurde in einem Winkel \(\phi\) von der \(+x\)-Achse nach oben gewählt.
Nun müssen wir den Vektor \(\overrightarrow {dl}\) mathematisch ausdrücken. Sein Betrag ist die Länge eines infinitesimalen Bogensegments, die \(R\;d\phi\) ist. Die Richtung ist schwieriger zu bestimmen, aber wenn wir das Bild aufblasen und ein bisschen Geometrie machen, können wir seine Komponenten bestimmen:
Abbildung 4.2.3 – Schreiben des aktuellen Elementvektors
Zusammensetzen zu einem einzigen Vektor:
Wir haben jetzt alles, was wir brauchen. So kompliziert die Geometrie mit der Kraft und dann dem Drehmoment auch ist, wir müssen sie nicht verfolgen – wir müssen nur die Vektor-Mathematik richtig machen. Zum Beispiel ist die Kraft auf das aktuelle Element:
Zeiten\\ links]
Unter Rückgriff auf die Kreuzprodukte von Einheitsvektoren aus Physik 9A setzen wir \(\widehat i\Zeiten\widehat i = 0\) und \(\widehat j\Zeiten\widehat i = -\widehat k\) ein, und die Kraft auf dieses Element wird:
Um das Drehmoment zu erhalten, wählen wir den Ursprung als Bezugspunkt und berechnen direkt den infinitesimalen Beitrag zum Drehmoment. Wenn wir den Positionsvektor einstecken und die Vektorrechnung durchführen, erhalten wir:
Alles, was übrig bleibt, ist, alle Beiträge zum Drehmoment zu addieren, was bedeutet, dass wir über den Winkel \(\phi\) von \(0\rightarrow 2\pi\) integrieren:)
= IR^2B\left=I\left(\pi R^2\right)B\;\widehat j\]
Sicherlich ergibt sich die Größe des Drehmoments als \(\mu\;B\), wobei \(\mu=IA\). Und die Anwendung der Rechts-Regel, um die Richtung des magnetischen Moments (aus der Seite) zu erhalten, gefolgt von der Richtung des Drehmoments aus der Rechts-Regel, angewandt auf \(\overrightarrow\mu\times\overrightarrow B\), bestätigt, dass die Richtung ebenfalls funktioniert.
Dieses Problem schien sehr entmutigend zu sein, weil sich die Richtung von \(\overrightarrow {dl}\) überall auf dem Kreis ändert, aber sobald dieser Vektor in Form von \(\phi\) und den Einheitsvektoren geschrieben wird, erledigt die Mathematik den Rest!